[옥동수학학원][더플러스수학] 교란순열에 대하여

이번 학기에서는 우연히 울산과고1학년 수업에서 수학(하)와 확통에서 공통으로 경우의 수를 다룬다.  #울산과고 1학년, 2학년 수업 모두에는 실력정석 "경우의 수" 단원의 연습문제에 #교란순열을 포함되어 있다. 교란순열을 #포함과_배제의_원리(포제의 원리)를 갖고 일반항을 구할 수 있고, 또, #점화식 을 이용하여 교란순열의 개수를 구할 수 있다.

따라서 이 글에서는 교란순열에 대해 알아보고자 한다. 교란순열의 일반항, 점화식, 항등식 등등....

교란순열

함수 \(\displaystyle f:\left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \rightarrow \left\{1,~2,~3,~\cdots,~n \right\} \)에 대하여

\(\displaystyle f ( 1) \neq 1 \), \(\displaystyle f ( 2) \neq 2 \), \(\displaystyle \cdots \), \(\displaystyle f ( n) \neq n \)

을 만족하는 함수의 개수를 \(\displaystyle D_n \)이라 하자. 이 때, \(\displaystyle D_n \)을 교란순열의 수라고 한다.
 
예1) \(\displaystyle 1,~2,~3,~4 \)를 일렬로 배열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 \(\displaystyle a_1 a_2 a_3 a_4 \) 중 \(\displaystyle a_i \neq i \) (\(\displaystyle i=1,~2,~3,~4 \))를 만족하는 자연수의 개수는?
 
 
 
예2) \(\displaystyle 1,~2,~3,~4 \)를 일렬로 배열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 \(\displaystyle a_1 a_2 a_3 a_4 \) 중 \(\displaystyle a _ {1} \neq 2 \), \(\displaystyle a _ {2} \neq 3 \), \(\displaystyle a _ {3} \neq 4 \), \(\displaystyle a _ {4} \neq 1 \)를 만족하는 자연수의 개수는?
 
 
 
예3) \(\displaystyle 1,~2,~3,~4,~5 \)를 일렬로 배열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 \(\displaystyle a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 \) 중 \(\displaystyle a _ {1} \neq 1 \), \(\displaystyle a _ {3} \neq 3 \), \(\displaystyle a _ {5} \neq 5 \)를 만족하는 자연수의 개수는?
 
 
 
예4) \(\displaystyle D _ {n} = \left ( n-1 \right ) \left ( D _ {n-1} +D _ {n} \right) \) \(\displaystyle D_0 =1,~D_1 =0 \)
 
 
 
예5) \(\displaystyle D_n = n! \left ( 1- \frac 1{1!} + \frac 1 {2!} - \frac 1{3!} +\cdots+ ( -1)^n \frac 1{n!} \right ) \)
 
 
 
예6) \(\displaystyle n ! = \sum\limits _ {k=0} ^ {n} {} _ {n} \mathrm C _ { k } D _ {n-k} \)

\(\displaystyle 4! = _4 \mathrm C_0 D_4 + {} _4 \mathrm C_1 D_3 + _4 \mathrm C_2 D_2 + _4 \mathrm C_3 D_1 + _4 \mathrm C_4 D_0 \)

 

https://youtu.be/UCQm4kU1QFI

 

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