[옥동수학학원][수학의 기초]울산과고 상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

울산과학고 학생들이 공부하는 AP-Calculus(미적분학)를 학원에서 가르치다 보면 해석학에서 나오는 개념들인 상계, 하계 등등에 대한 개념을 정리할 필요성을 느낀다. 
먼저 상한(최소상계)와 최대값의 개념이 혼란스러울 것이다.
예를 들어 유한집합 \(\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}\)를 생각해 보면, 이 집합 \(\displaystyle S\)의 최댓값은 \(\displaystyle 4\)로 존재한다.
그런데 다음과 같은 무한집합 \(\displaystyle S_2 = [0,~2)\)에서는 최댓값은 존재하지 않는다.
그런데 여기서  \(\displaystyle 2\)는 집합 \(\displaystyle S_2 \)의 원소는 아니지만 또, \(\displaystyle 2\)보다 작은 어떤 실수도 집합 \(\displaystyle S\)의 원소이므로 숫자 \(\displaystyle 2\)는 뭔가 특별한 수이다.
이 수를 우리는 집합 \(\displaystyle S_2\)의 최소상계(상한)이라고 말한다. 물론 집합 \(\displaystyle S_1\)에서 \(\displaystyle 4\)는 최댓값도 되지만 최소상계(상한)이기도 한다. 
그러면 이제 상계, 상한에 대한 개념을 정확히 정의하자.
 

정의1. 위로 유계('bounded above'), 상계('upper bound')

실수의 부분집합 \(\displaystyle E \subset \mathbb R\)에 대하여 다음 조건을 만족할 때 집합 \(\displaystyle E\)은 위로 유계('bounded above')라고 말한다.
"모든 \(\displaystyle x \in E\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq M\)을 만족하는 실수 \(\displaystyle M\)이 존재한다."
이 때, 실수 \(\displaystyle M\)을 상계('upper bound')라고 한다. 
만약 상계 \(\displaystyle M\)이 집합 \(\displaystyle E\)의 원소일 때, 즉 \(\displaystyle M \in E\)일 때, 실수 \(\displaystyle M\)을 집합 \(\displaystyle E\)의 최댓값(maximum)이라고 한다.

 
위의 집합 \(\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}\)에서 모든 \(\displaystyle x \in S_1\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq 4\)이므로 집합 \(\displaystyle S_1 \)은 위로 유계이다. 또 \(\displaystyle 4\)는 상계(upper bound)이다. 또 \(\displaystyle 4 \in S_1\)이므로 \(\displaystyle 4\)는 집합 \(\displaystyle S_1\)의 최댓값이다.
물론 집합 \(\displaystyle S_1\)의 상계는 \(\displaystyle 4\)만 있는 것이 아니라. \(\displaystyle 4\)이상의 모든 실수도 집합 \(\displaystyle S_1\)의 상계가 된다. 즉 집합 \(\displaystyle S_1\)의 상계의 집합은 \(\displaystyle [4,~\infty)\)이다.
집합 \(\displaystyle S_2 = [0,~2)\)에서도 \(\displaystyle 2\)는 상계이다. 왜냐하면 모든 \(\displaystyle x \in S_2\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq 2\)이기 때문이다. 그런데 \(\displaystyle 2 \not \in S_2 \)이므로 \(\displaystyle 2\)는 집합 \(\displaystyle S_2 \)의 최댓값은 아니다. 또, 집합 \(\displaystyle S_2\)의 상계의 집합은 \(\displaystyle  [2,~\infty)\)이다.
 

정의2. 아래로 유계('bounded below'), 하계('lower bound')

실수의 부분집합 \(\displaystyle E \subset \mathbb R\)에 대하여 다음 조건을 만족할 때 집합 \(\displaystyle E\)은 아래로 유계('bounded below')라고 말한다.
"모든 \(\displaystyle x \in E\)에 대하여 \(\displaystyle x \geq m\)을 만족하는 실수 \(\displaystyle m\)이 존재한다."
이 때, 실수 \(\displaystyle m\)을 하계('lower bound')라고 한다. 
만약 상계 \(\displaystyle m\)이 집합 \(\displaystyle E\)의 원소일 때, 즉 \(\displaystyle m \in E\)일 때, 실수 \(\displaystyle m\)을 집합 \(\displaystyle E\)의 최솟값(minimum)이라고 한다.

 
간단히 집합 \(\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}\)에서 \(\displaystyle 1\)은 집합 \(\displaystyle S_1\)의 하계이자 최솟값이다. 
다음의 집합 \(\displaystyle S_3= ( 0,~4]\)을 생각해 보면 \(\displaystyle 0\)은 집합 \(\displaystyle S_3\)의 하계이지만 최솟값은 아니다.
 

정의3. 유계('bounded'), 유계가 아니다.('unbounded')

실수의 부분집합 \(\displaystyle E \subset \mathbb R\)가 '아래로 유계'이면서 '위로 유계'이면 집합 \(\displaystyle E\)은 유계('bounded')라고 말한다. 또, 위로 유계가 아니거나 아래로 유계가 아니면 집합 \(\displaystyle E\)는 유계가 아니다('unbounded')라고 말한다. 

 
위에서 예를 든 집합 \(\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}\), 집합 \(\displaystyle S_2 = [0,~2)\), 집합 \(\displaystyle S_3= ( 0,~4]\)는 모두 유계이다. 그러나 다음의 집합 \(\displaystyle S_4= ( 0,~\infty)\), \(\displaystyle S_4= ( -\infty,~\infty)\), 자연수 전제의 집합 \(\displaystyle \mathbb N\)은 모두 유계가 아니다.
 
어떤 집합의 상계가 있다면 무수히 많이 있다. 예를 들어 집합 \(\displaystyle S_2 = [0,~2)\)에서 이 집합의 상계는 \(\displaystyle x \geq 2\)인 모든 실수이다. 그러면 이제 이 상계들 중에서 가장 작은 것, 마찬가지로 하계에서도 하계들 중에서 가장 큰 것에 대하여 정의해 보도록 하자.
 

정의4. 최소상계('least upper bound'), 상한('supremum')

집합 \(\displaystyle S \subset \mathbb R\)에 대하여 다음 조건을 만족하는 실수 \(\displaystyle M \)이 존재하면 이 실수 \(\displaystyle M\)을 집합 \(\displaystyle S\)의 최소상계('least upper bound') 또는 상한('supremum')이라고 한다. 또 기호로는 \(\displaystyle M= \sup(S)\) 또는 \(\displaystyle M=\textrm{l.u.b}(S)\)로 나타낸다.
(i) \(\displaystyle M\)은 집합 \(\displaystyle S\)의 상계이다.
(ii) \(\displaystyle M'<M\)인 \(\displaystyle M'\)는 집합 \(\displaystyle S\)의 상계가 아니다.

 
만약 집합 \(\displaystyle S\)의 최댓값(\(\displaystyle \max (S)\)이 존재한다면 \(\displaystyle \max (S)=\sup(S)\)이다. 예를 들어 닫힌 구간 \(\displaystyle [0,~2]\)의 최댓값은 \(\displaystyle 2\)인데 상한(supremum)도  \(\displaystyle2\)이다.
만약 집합 \(\displaystyle S\)의 최댓값은 존재하지 않지만 집합이 위로 유계(bounded above)이면 반드시 최소상계(상한)이 존재한다. 예를 들어 열린구간 \(\displaystyle I=(0,~2)\)의 최댓값은 존재하지 않지만 \(\displaystyle2\)는 상한이다.
상한의 정의에 의해
(1) \(\displaystyle 2\)는 구간 \(\displaystyle I\)의 상계이다. 왜냐하면 임의의 \(\displaystyle x \in I\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq 2\)이기 때문이다.
(2) \(\displaystyle 0<M'<2\)인 실수 \(\displaystyle M'\)가 존재한다면 실수의 조밀성에 의해 \(\displaystyle M' < \frac{M'+2}{2}<2\)를 만족하는 실수 \(\displaystyle \frac{M'+2}{2} \in I\)가 존재하므로 \(\displaystyle M'\)는 구간 \(\displaystyle I\)의 상계가 아니다.
 
위의 예에서 보듯이 주어진 집합에서 어떤 실수가 상한인지 아닌지를 판단하는 방법은 상한의 정의에 의해 가능한데 그것을 정리하면 다음과 같다.

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\(\displaystyle S \subset \mathbb R\)에 대하여 \(\displaystyle M= \sup(S)\)인지 확인하는 방법
(1) \(\displaystyle \forall x \in S\),   \(\displaystyle x \leq M\)
(2) \(\displaystyle M'<M\)이면 \(\displaystyle M'<x<M\)을 만족하는 어떤 \(\displaystyle x \in S\)가 존재한다.

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예제. 집합 \(\displaystyle S=\left\{ 1- \frac{2}{n} \,\left. \vert \right. \, n  \in \mathbb N \right\}\)의 상한이 \(\displaystyle 1\)임을 보이시오.
(풀이) 
(1) \(\displaystyle 1- \frac{2}{n} \leq 1\)이다. 왜냐하면 두 수를 빼면 \(\displaystyle 1- \left(1-\frac{2}{n}\right)=\frac{2}{n} \geq 0\)이기 때문이다.
(2) \(\displaystyle M'<1\)이라 가정하면 우리는 \(\displaystyle M'\)보다 큰 집합 \(\displaystyle S\)의 원소가 존재함을 보이면 된다. 
\(\displaystyle \begin{align} M'< 1- \frac{2}{n} ~&\Longleftrightarrow ~\frac{2}{n} <1-M'\\&\Longleftrightarrow~ \frac{2}{1-M'} <n \end{align}\)
여기서 \(\displaystyle \frac{2}{1-M'}\)는 실수이므로 아르키메데스의 공리에 의해 \(\displaystyle \frac{2}{1-M'}\)보다 큰 자연수 \(\displaystyle n\)은 존재한다. 따라서 
\(\displaystyle M< \frac{2}{n} \in S\)가 존재한다. 
 
참고) 아르키메데스의 공리 : 모든 실수 \(\displaystyle a\)에 대하여 \(\displaystyle a < k\)를 만족하는 자연수 \(\displaystyle k\)가 존재한다.
 

정의4. 최대하계('greatest lower bound'), 하한('infimum')

집합 \(\displaystyle S \subset \mathbb R\)에 대하여 다음 조건을 만족하는 실수 \(\displaystyle m \)이 존재하면 이 실수 \(\displaystyle m\)을 집합 \(\displaystyle S\)의 최대하계('greatest lower bound') 또는 하한('infimum')이라고 한다. 또 기호로는 \(\displaystyle m= \inf(E)\) 또는 \(\displaystyle M=\textrm{g.l.b}(E)\)로 나타낸다.
(i) \(\displaystyle m\)은 집합 \(\displaystyle S\)의 하계이다.
(ii) \(\displaystyle m'>m\)인 \(\displaystyle m'\)는 집합 \(\displaystyle S\)의 하계가 아니다.

 
최대하계는 최소상계와 비슷하므로 자세한 설명은 생략한다. 또, 최대하계 판정도 최소상계 판정과 거의 같으므로 생략하자.
 

공리5 실수의 최소상계의 원리(Least upper bound property of \(\displaystyle \mathbb R\))-완비성 공리(axiom of completeness)

집합 \(\displaystyle S\)가 공집합이 아닌 실수의 부분집합이라 할 때, 집합 \(\displaystyle S\)가 위로 유계이면(상계를 갖는다면) 반드시 최소상계(상한) \(\displaystyle \sup(S) \in \mathbb R\)을 갖는다.

 

정리6 집합 \(\displaystyle S \subset \mathbb R\)의 상한이 존재하면 그 상한은 유일하다. 즉, 상한은 하나밖에 없다.

 
증명) 귀류법으로 증명하자. 즉 집합 \(\displaystyle S \subset \mathbb R\)의 상한의 상한이 두개( \(\displaystyle a,~a'\) 존재한다고 가정하자. 
\(\displaystyle a\)가 집합 \(\displaystyle S\)의 상한이므로 \(\displaystyle a \leq a'\)
마찬가지로 \(\displaystyle a'\)가 집합 \(\displaystyle S\)의 상한이므로 \(\displaystyle a' \leq a\)
즉, \(\displaystyle a \leq a'\)이고 \(\displaystyle a' \leq a\)이므로 \(\displaystyle a' = a\)
 

정리7 유계인 집합 \(\displaystyle S \not = \phi\)에 대하여 다음은 서로 동치이다.

(1) \(\displaystyle \alpha=\sup(S)\)

(2) 모든 \(\displaystyle x \in S\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq  \alpha \)이고, 임의의 \(\displaystyle \epsilon>0\)에 대하여 \(\displaystyle \alpha-\epsilon <a\)인 \(\displaystyle a \in S\)가 존재한다.

 
(증명)
(\(\displaystyle \Longrightarrow\)) \(\displaystyle \alpha=\sup(S)\)라 가정하자. 즉 \(\displaystyle \alpha\)가 집합 \(\displaystyle S\)의 최소상계이므로 상계이다. 따라서 상계의 정의에 의해 

모든 \(\displaystyle x \in S\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq  \alpha \)

이제 "임의의 \(\displaystyle \epsilon>0\)에 대하여 \(\displaystyle \alpha-\epsilon <a\)인 \(\displaystyle a \in S\)가 존재한다."임을 귀류법으로 보이자.
결론을 부정하면 "어떤 \(\displaystyle \epsilon>0\)이 존재하여 모든 \(\displaystyle a \in S\)에 대하여 \(\displaystyle a \leq \alpha-\epsilon \)이다." 
이 말은 \(\displaystyle \alpha-\epsilon \)이 집합 \(\displaystyle S \)의 상계라는 말이다. 그런데 \(\displaystyle \alpha-\epsilon<\alpha\)라는 사실과 \(\displaystyle \alpha=\sup(S)\)-최소상계라는 사실은 서로 모순이다.
따라서 증명되었다.
(\(\displaystyle \Longleftarrow\)) "모든 \(\displaystyle x \in S\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq  \alpha \)  \(\displaystyle \cdots\cdots~(\mathrm{i})\)이고, 임의의 \(\displaystyle \epsilon>0\)에 대하여 \(\displaystyle \alpha-\epsilon <a\)인 \(\displaystyle a \in S\)가 존재한다.  \(\displaystyle \cdots\cdots~(\mathrm{ii})\)" 라고 가정하자.
\(\displaystyle (\mathrm{i})\)에 의해 \(\displaystyle \alpha\)는 집합 \(\displaystyle S\)의 하나의 상계이다.

또, \(\displaystyle \alpha\)가 집합 \(\displaystyle \)의 최소상계, 상한이 아니라고 가정하자. 그러면 \(\displaystyle \alpha\)보다 작은 최소상계, 상한 \(\displaystyle \beta\)가 존재한다고 가정하자. 즉 \(\displaystyle \beta< \alpha\).
\(\displaystyle \alpha-\beta=\epsilon\)으로 두면 \(\displaystyle (\mathrm{ii})\)에 의해 이 \(\displaystyle \epsilon\)에 대해 \(\displaystyle \alpha-\epsilon< y\)인 \(\displaystyle y \in S\)가 존재한다. 즉
\(\displaystyle \alpha-\epsilon=\beta< y\)인 \(\displaystyle y \in S\)가 존재하므로 \(\displaystyle \beta\)는 집합 \(\displaystyle S\)의 상계가 아니다. 따라서  \(\displaystyle \alpha\)가 집합 \(\displaystyle S\)의 최소상계이다.
 
위로유계인 집합은 최소상계를 갖는다는 완비성공리를 이용하여 아래로 유계인 집합은 최대하계를 갖는다는 성질을 증명하자.
 

정리8 공집합이 아닌 집합 \(\displaystyle S \subset \mathbb R\)에 대하여 다음을 증명하여라.

(1) \(\displaystyle T=\left\{ \,-x \,\vert \, x \in S \right\}\)라 할 때,  \(\displaystyle b=\sup(S)~\Longleftrightarrow ~-b=\inf(T)\)

(2) (1)을 이용하여 공집합이 아닌 집합 \(\displaystyle T\)가 아래로 유계이면 최대하계를 갖는다.

 
(1) \(\displaystyle b=\sup(S)\)라 가정하자.
그러면 모든 \(\displaystyle x \in S\)에 대하여 \(\displaystyle x \leq b\)
양변에 \(\displaystyle (-1)\)을 곱하면 \(\displaystyle -x \geq -b\)
따라서 모든 \(\displaystyle -x \in T\)에 대하여 \(\displaystyle -x \geq -b\)이므로 \(\displaystyle -b\)는 집합 \(\displaystyle T\)의 하계이다. 
이제 \(\displaystyle -b\)가 집합 \(\displaystyle T\)의 최대하계-하한임을 귀류법으로 보이자. 
\(\displaystyle -b<-c\)가 존재하여 \(\displaystyle -c\)가 집합 \(\displaystyle T\)의 다른 하계라 하자. 그러면 하계의 정의에 의해 모든 모든 \(\displaystyle -x \in T\)에 대하여 \(\displaystyle -x \geq -c \)이다.
양변에 모든 \(\displaystyle (-1)\)을 곱하면 \(\displaystyle x \leq c \)이다. 그런데 \(\displaystyle -b < -c \)에서 \(\displaystyle b > c \)이다. 이것은 \(\displaystyle b \)가 최소상계라는 사실과 서로 모순이다. 
따라서 \(\displaystyle b=\sup(S)\)이면 \(\displaystyle -b=\inf(T)\)이다.
역의 과정도 위와 거의 똑같이 할 수 있다.
(2) 공집합이 아닌 집합 \(\displaystyle T\)가 아래로 유계라고 하자. 그리고 \(\displaystyle a \in \mathbb R\)을 집합 \(\displaystyle T\)의 하계라고 하자. 그러면 모든 \(\displaystyle x \in T\)에 대하여 \(\displaystyle x \geq a\)이다.
양변에 \(\displaystyle (-1)\)을 곱하면 \(\displaystyle -x \leq -a \)이다. 따라서 새로운 집합 \(\displaystyle T_1\)을 \(\displaystyle T_1=\left\{ \,-x\, \vert \, x \in T\right\}\)로 정의하면 모든 \(\displaystyle -x \in T_1 \)에 대하여 \(\displaystyle -x \leq -a \)이므로 집합 \(\displaystyle T_1 \)은 위로 유계이다. 
따라서 완비성 공리에 의해 최소상계 \(\displaystyle -b \)를 갖는다. 즉 \(\displaystyle \sup(T_1 )=-b \)이다. 따라서 (1)에 의해 집합 \(\displaystyle T \)는 최대하계 \(\displaystyle b \)를 갖는다. 즉 \(\displaystyle \inf(T)=b \)
 
이러한 실수의 성질을 활용하는 예에는 정적분이 있다. 실수의 완비성 공리를 이용하여 상합, 하합, 상적분, 하적분 등을 이용하여 정적분을 정의한 다음 글을 참조하기를 바란다.
2021.02.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계

[수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계

 

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