[옥동수학학원][수학의 기초]울산과고 상계-상한, 하계-하한[더플러스수학]

울산과학고 학생들이 공부하는 AP-Calculus(미적분학)를 학원에서 가르치다 보면 해석학에서 나오는 개념들인 상계, 하계 등등에 대한 개념을 정리할 필요성을 느낀다. 
먼저 상한(최소상계)와 최대값의 개념이 혼란스러울 것이다.
예를 들어 유한집합 $\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}$를 생각해 보면, 이 집합 $\displaystyle S$의 최댓값은 $\displaystyle 4$로 존재한다.
그런데 다음과 같은 무한집합 $\displaystyle S_2 = [0,~2)$에서는 최댓값은 존재하지 않는다.
그런데 여기서  $\displaystyle 2$는 집합 $\displaystyle S_2$의 원소는 아니지만 또, $\displaystyle 2$보다 작은 어떤 실수도 집합 $\displaystyle S$의 원소이므로 숫자 $\displaystyle 2$는 뭔가 특별한 수이다.
이 수를 우리는 집합 $\displaystyle S_2$의 최소상계(상한)이라고 말한다. 물론 집합 $\displaystyle S_1$에서 $\displaystyle 4$는 최댓값도 되지만 최소상계(상한)이기도 한다. 
그러면 이제 상계, 상한에 대한 개념을 정확히 정의하자.
 

정의1. 위로 유계('bounded above'), 상계('upper bound')

실수의 부분집합 $\displaystyle E \subset \mathbb R$에 대하여 다음 조건을 만족할 때 집합 $\displaystyle E$은 위로 유계('bounded above')라고 말한다.
"모든 $\displaystyle x \in E$에 대하여 $\displaystyle x \leq M$을 만족하는 실수 $\displaystyle M$이 존재한다."
이 때, 실수 $\displaystyle M$을 상계('upper bound')라고 한다. 
만약 상계 $\displaystyle M$이 집합 $\displaystyle E$의 원소일 때, 즉 $\displaystyle M \in E$일 때, 실수 $\displaystyle M$을 집합 $\displaystyle E$의 최댓값(maximum)이라고 한다.

 
위의 집합 $\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}$에서 모든 $\displaystyle x \in S_1$에 대하여 $\displaystyle x \leq 4$이므로 집합 $\displaystyle S_1$은 위로 유계이다. 또 $\displaystyle 4$는 상계(upper bound)이다. 또 $\displaystyle 4 \in S_1$이므로 $\displaystyle 4$는 집합 $\displaystyle S_1$의 최댓값이다.
물론 집합 $\displaystyle S_1$의 상계는 $\displaystyle 4$만 있는 것이 아니라. $\displaystyle 4$이상의 모든 실수도 집합 $\displaystyle S_1$의 상계가 된다. 즉 집합 $\displaystyle S_1$의 상계의 집합은 $\displaystyle [4,~\infty)$이다.
집합 $\displaystyle S_2 = [0,~2)$에서도 $\displaystyle 2$는 상계이다. 왜냐하면 모든 $\displaystyle x \in S_2$에 대하여 $\displaystyle x \leq 2$이기 때문이다. 그런데 $\displaystyle 2 \not \in S_2$이므로 $\displaystyle 2$는 집합 $\displaystyle S_2$의 최댓값은 아니다. 또, 집합 $\displaystyle S_2$의 상계의 집합은 $\displaystyle  [2,~\infty)$이다.
 

정의2. 아래로 유계('bounded below'), 하계('lower bound')

실수의 부분집합 $\displaystyle E \subset \mathbb R$에 대하여 다음 조건을 만족할 때 집합 $\displaystyle E$은 아래로 유계('bounded below')라고 말한다.
"모든 $\displaystyle x \in E$에 대하여 $\displaystyle x \geq m$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$이 존재한다."
이 때, 실수 $\displaystyle m$을 하계('lower bound')라고 한다. 
만약 상계 $\displaystyle m$이 집합 $\displaystyle E$의 원소일 때, 즉 $\displaystyle m \in E$일 때, 실수 $\displaystyle m$을 집합 $\displaystyle E$의 최솟값(minimum)이라고 한다.

 
간단히 집합 $\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}$에서 $\displaystyle 1$은 집합 $\displaystyle S_1$의 하계이자 최솟값이다. 
다음의 집합 $\displaystyle S_3= ( 0,~4]$을 생각해 보면 $\displaystyle 0$은 집합 $\displaystyle S_3$의 하계이지만 최솟값은 아니다.
 

정의3. 유계('bounded'), 유계가 아니다.('unbounded')

실수의 부분집합 $\displaystyle E \subset \mathbb R$가 '아래로 유계'이면서 '위로 유계'이면 집합 $\displaystyle E$은 유계('bounded')라고 말한다. 또, 위로 유계가 아니거나 아래로 유계가 아니면 집합 $\displaystyle E$는 유계가 아니다('unbounded')라고 말한다. 

 
위에서 예를 든 집합 $\displaystyle S_1=\left\{ 1,~2,~3,~4 \right\}$, 집합 $\displaystyle S_2 = [0,~2)$, 집합 $\displaystyle S_3= ( 0,~4]$는 모두 유계이다. 그러나 다음의 집합 $\displaystyle S_4= ( 0,~\infty)$, $\displaystyle S_4= ( -\infty,~\infty)$, 자연수 전제의 집합 $\displaystyle \mathbb N$은 모두 유계가 아니다.
 
어떤 집합의 상계가 있다면 무수히 많이 있다. 예를 들어 집합 $\displaystyle S_2 = [0,~2)$에서 이 집합의 상계는 $\displaystyle x \geq 2$인 모든 실수이다. 그러면 이제 이 상계들 중에서 가장 작은 것, 마찬가지로 하계에서도 하계들 중에서 가장 큰 것에 대하여 정의해 보도록 하자.
 

정의4. 최소상계('least upper bound'), 상한('supremum')

집합 $\displaystyle S \subset \mathbb R$에 대하여 다음 조건을 만족하는 실수 $\displaystyle M$이 존재하면 이 실수 $\displaystyle M$을 집합 $\displaystyle S$의 최소상계('least upper bound') 또는 상한('supremum')이라고 한다. 또 기호로는 $\displaystyle M= \sup(S)$ 또는 $\displaystyle M=\textrm{l.u.b}(S)$로 나타낸다.
(i) $\displaystyle M$은 집합 $\displaystyle S$의 상계이다.
(ii) $\displaystyle M'<M$인 $\displaystyle M'$는 집합 $\displaystyle S$의 상계가 아니다.

 
만약 집합 $\displaystyle S$의 최댓값($\displaystyle \max (S)$이 존재한다면 $\displaystyle \max (S)=\sup(S)$이다. 예를 들어 닫힌 구간 $\displaystyle [0,~2]$의 최댓값은 $\displaystyle 2$인데 상한(supremum)도  $\displaystyle2$이다.
만약 집합 $\displaystyle S$의 최댓값은 존재하지 않지만 집합이 위로 유계(bounded above)이면 반드시 최소상계(상한)이 존재한다. 예를 들어 열린구간 $\displaystyle I=(0,~2)$의 최댓값은 존재하지 않지만 $\displaystyle2$는 상한이다.
상한의 정의에 의해
(1) $\displaystyle 2$는 구간 $\displaystyle I$의 상계이다. 왜냐하면 임의의 $\displaystyle x \in I$에 대하여 $\displaystyle x \leq 2$이기 때문이다.
(2) $\displaystyle 0<M'<2$인 실수 $\displaystyle M'$가 존재한다면 실수의 조밀성에 의해 $\displaystyle M' < \frac{M'+2}{2}<2$를 만족하는 실수 $\displaystyle \frac{M'+2}{2} \in I$가 존재하므로 $\displaystyle M'$는 구간 $\displaystyle I$의 상계가 아니다.
 
위의 예에서 보듯이 주어진 집합에서 어떤 실수가 상한인지 아닌지를 판단하는 방법은 상한의 정의에 의해 가능한데 그것을 정리하면 다음과 같다.

---

$\displaystyle S \subset \mathbb R$에 대하여 $\displaystyle M= \sup(S)$인지 확인하는 방법
(1) $\displaystyle \forall x \in S$,   $\displaystyle x \leq M$
(2) $\displaystyle M'<M$이면 $\displaystyle M'<x<M$을 만족하는 어떤 $\displaystyle x \in S$가 존재한다.

---

 
예제. 집합 $\displaystyle S=\left\{ 1- \frac{2}{n} \,\left. \vert \right. \, n  \in \mathbb N \right\}$의 상한이 $\displaystyle 1$임을 보이시오.
(풀이) 
(1) $\displaystyle 1- \frac{2}{n} \leq 1$이다. 왜냐하면 두 수를 빼면 $\displaystyle 1- \left(1-\frac{2}{n}\right)=\frac{2}{n} \geq 0$이기 때문이다.
(2) $\displaystyle M'<1$이라 가정하면 우리는 $\displaystyle M'$보다 큰 집합 $\displaystyle S$의 원소가 존재함을 보이면 된다. 
$\displaystyle \begin{align} M'< 1- \frac{2}{n} ~&\Longleftrightarrow ~\frac{2}{n} <1-M'\\&\Longleftrightarrow~ \frac{2}{1-M'} <n \end{align}$
여기서 $\displaystyle \frac{2}{1-M'}$는 실수이므로 아르키메데스의 공리에 의해 $\displaystyle \frac{2}{1-M'}$보다 큰 자연수 $\displaystyle n$은 존재한다. 따라서 
$\displaystyle M< \frac{2}{n} \in S$가 존재한다. 
 
참고) 아르키메데스의 공리 : 모든 실수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle a < k$를 만족하는 자연수 $\displaystyle k$가 존재한다.
 

정의4. 최대하계('greatest lower bound'), 하한('infimum')

집합 $\displaystyle S \subset \mathbb R$에 대하여 다음 조건을 만족하는 실수 $\displaystyle m$이 존재하면 이 실수 $\displaystyle m$을 집합 $\displaystyle S$의 최대하계('greatest lower bound') 또는 하한('infimum')이라고 한다. 또 기호로는 $\displaystyle m= \inf(E)$ 또는 $\displaystyle M=\textrm{g.l.b}(E)$로 나타낸다.
(i) $\displaystyle m$은 집합 $\displaystyle S$의 하계이다.
(ii) $\displaystyle m'>m$인 $\displaystyle m'$는 집합 $\displaystyle S$의 하계가 아니다.

 
최대하계는 최소상계와 비슷하므로 자세한 설명은 생략한다. 또, 최대하계 판정도 최소상계 판정과 거의 같으므로 생략하자.
 

공리5 실수의 최소상계의 원리(Least upper bound property of $\displaystyle \mathbb R$)-완비성 공리(axiom of completeness)

집합 $\displaystyle S$가 공집합이 아닌 실수의 부분집합이라 할 때, 집합 $\displaystyle S$가 위로 유계이면(상계를 갖는다면) 반드시 최소상계(상한) $\displaystyle \sup(S) \in \mathbb R$을 갖는다.

 

정리6 집합 $\displaystyle S \subset \mathbb R$의 상한이 존재하면 그 상한은 유일하다. 즉, 상한은 하나밖에 없다.

 
증명) 귀류법으로 증명하자. 즉 집합 $\displaystyle S \subset \mathbb R$의 상한의 상한이 두개( $\displaystyle a,~a'$ 존재한다고 가정하자. 
$\displaystyle a$가 집합 $\displaystyle S$의 상한이므로 $\displaystyle a \leq a'$
마찬가지로 $\displaystyle a'$가 집합 $\displaystyle S$의 상한이므로 $\displaystyle a' \leq a$
즉, $\displaystyle a \leq a'$이고 $\displaystyle a' \leq a$이므로 $\displaystyle a' = a$
 

정리7 유계인 집합 $\displaystyle S \not = \phi$에 대하여 다음은 서로 동치이다.

(1) $\displaystyle \alpha=\sup(S)$

(2) 모든 $\displaystyle x \in S$에 대하여 $\displaystyle x \leq  \alpha$이고, 임의의 $\displaystyle \epsilon>0$에 대하여 $\displaystyle \alpha-\epsilon <a$인 $\displaystyle a \in S$가 존재한다.

 
(증명)
($\displaystyle \Longrightarrow$) $\displaystyle \alpha=\sup(S)$라 가정하자. 즉 $\displaystyle \alpha$가 집합 $\displaystyle S$의 최소상계이므로 상계이다. 따라서 상계의 정의에 의해 

모든 $\displaystyle x \in S$에 대하여 $\displaystyle x \leq  \alpha$

이제 "임의의 $\displaystyle \epsilon>0$에 대하여 $\displaystyle \alpha-\epsilon <a$인 $\displaystyle a \in S$가 존재한다."임을 귀류법으로 보이자.
결론을 부정하면 "어떤 $\displaystyle \epsilon>0$이 존재하여 모든 $\displaystyle a \in S$에 대하여 $\displaystyle a \leq \alpha-\epsilon$이다." 
이 말은 $\displaystyle \alpha-\epsilon$이 집합 $\displaystyle S$의 상계라는 말이다. 그런데 $\displaystyle \alpha-\epsilon<\alpha$라는 사실과 $\displaystyle \alpha=\sup(S)$-최소상계라는 사실은 서로 모순이다.
따라서 증명되었다.
($\displaystyle \Longleftarrow$) "모든 $\displaystyle x \in S$에 대하여 $\displaystyle x \leq  \alpha$  $\displaystyle \cdots\cdots~(\mathrm{i})$이고, 임의의 $\displaystyle \epsilon>0$에 대하여 $\displaystyle \alpha-\epsilon <a$인 $\displaystyle a \in S$가 존재한다.  $\displaystyle \cdots\cdots~(\mathrm{ii})$" 라고 가정하자.
$\displaystyle (\mathrm{i})$에 의해 $\displaystyle \alpha$는 집합 $\displaystyle S$의 하나의 상계이다.

또, $\displaystyle \alpha$가 집합 $\displaystyle$의 최소상계, 상한이 아니라고 가정하자. 그러면 $\displaystyle \alpha$보다 작은 최소상계, 상한 $\displaystyle \beta$가 존재한다고 가정하자. 즉 $\displaystyle \beta< \alpha$.
$\displaystyle \alpha-\beta=\epsilon$으로 두면 $\displaystyle (\mathrm{ii})$에 의해 이 $\displaystyle \epsilon$에 대해 $\displaystyle \alpha-\epsilon< y$인 $\displaystyle y \in S$가 존재한다. 즉
$\displaystyle \alpha-\epsilon=\beta< y$인 $\displaystyle y \in S$가 존재하므로 $\displaystyle \beta$는 집합 $\displaystyle S$의 상계가 아니다. 따라서  $\displaystyle \alpha$가 집합 $\displaystyle S$의 최소상계이다.
 
위로유계인 집합은 최소상계를 갖는다는 완비성공리를 이용하여 아래로 유계인 집합은 최대하계를 갖는다는 성질을 증명하자.
 

정리8 공집합이 아닌 집합 $\displaystyle S \subset \mathbb R$에 대하여 다음을 증명하여라.

(1) $\displaystyle T=\left\{ \,-x \,\vert \, x \in S \right\}$라 할 때,  $\displaystyle b=\sup(S)~\Longleftrightarrow ~-b=\inf(T)$

(2) (1)을 이용하여 공집합이 아닌 집합 $\displaystyle T$가 아래로 유계이면 최대하계를 갖는다.

 
(1) $\displaystyle b=\sup(S)$라 가정하자.
그러면 모든 $\displaystyle x \in S$에 대하여 $\displaystyle x \leq b$
양변에 $\displaystyle (-1)$을 곱하면 $\displaystyle -x \geq -b$
따라서 모든 $\displaystyle -x \in T$에 대하여 $\displaystyle -x \geq -b$이므로 $\displaystyle -b$는 집합 $\displaystyle T$의 하계이다. 
이제 $\displaystyle -b$가 집합 $\displaystyle T$의 최대하계-하한임을 귀류법으로 보이자. 
$\displaystyle -b<-c$가 존재하여 $\displaystyle -c$가 집합 $\displaystyle T$의 다른 하계라 하자. 그러면 하계의 정의에 의해 모든 모든 $\displaystyle -x \in T$에 대하여 $\displaystyle -x \geq -c$이다.
양변에 모든 $\displaystyle (-1)$을 곱하면 $\displaystyle x \leq c$이다. 그런데 $\displaystyle -b < -c$에서 $\displaystyle b > c$이다. 이것은 $\displaystyle b$가 최소상계라는 사실과 서로 모순이다. 
따라서 $\displaystyle b=\sup(S)$이면 $\displaystyle -b=\inf(T)$이다.
역의 과정도 위와 거의 똑같이 할 수 있다.
(2) 공집합이 아닌 집합 $\displaystyle T$가 아래로 유계라고 하자. 그리고 $\displaystyle a \in \mathbb R$을 집합 $\displaystyle T$의 하계라고 하자. 그러면 모든 $\displaystyle x \in T$에 대하여 $\displaystyle x \geq a$이다.
양변에 $\displaystyle (-1)$을 곱하면 $\displaystyle -x \leq -a$이다. 따라서 새로운 집합 $\displaystyle T_1$을 $\displaystyle T_1=\left\{ \,-x\, \vert \, x \in T\right\}$로 정의하면 모든 $\displaystyle -x \in T_1$에 대하여 $\displaystyle -x \leq -a$이므로 집합 $\displaystyle T_1$은 위로 유계이다. 
따라서 완비성 공리에 의해 최소상계 $\displaystyle -b$를 갖는다. 즉 $\displaystyle \sup(T_1 )=-b$이다. 따라서 (1)에 의해 집합 $\displaystyle T$는 최대하계 $\displaystyle b$를 갖는다. 즉 $\displaystyle \inf(T)=b$
 
이러한 실수의 성질을 활용하는 예에는 정적분이 있다. 실수의 완비성 공리를 이용하여 상합, 하합, 상적분, 하적분 등을 이용하여 정적분을 정의한 다음 글을 참조하기를 바란다.
2021.02.01 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계

[수학의 기초] 정적분의 정의(1)-리만합, 상합, 하합의 관계

 

더플러스수학학원 : 네이버

과고1학년, 2학년 대신대비를 위해 더플러스수학학원의 구술시스템에서 실제로 하고 있는 문제를 보시려거나 과학고 3학년 AP미적분학을 준비하고자 하거나 대학교1학년 미적분학에 대해 공부하려고 하면 더플러스수학 프리미엄콘텐츠 를 이용해 보세요.

https://naver.me/FsR64KUy

과학고전문더플러스수학 : 네이버 프리미엄콘텐츠

 

더플러스수학 https://www.youtube.com/@THEPLUSMATH/channels
더플러스수학 블로그 https://plusthemath.tistory.com/
더플러스수학 네이버블로그 https://m.blog.naver.com/plusthemath
더플러스수학 페이스북 https://www.facebook.com/plusthemath