[AP-Calculus] Proof of \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=L \Longleftrightarrow \lim\limits_{h \rightarrow 0}f(a+h)=L\) [더플러스수학]

Prove that \(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L \) if and only if \(\displaystyle  \lim\limits_{h \rightarrow }f(a+h)=L\). (Use the precise definition of limits with \(\displaystyle \epsilon-\delta\))

-극한에 대한 엄밀한 정의인 \(\displaystyle \epsilon-\delta\)논법을 이용하여 다음이 서로 동치-필요충분조건임을 보이시오.

\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L \) \(\displaystyle \Longleftrightarrow\) \(\displaystyle  \lim\limits_{h \rightarrow 0}f(a+h)=L\)

 

증명) (\(\displaystyle  \Longrightarrow \))

\(\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L \)이므로 극한의 정의에 의해

임의의 \(\displaystyle \epsilon>0\)에 대하여 적당한 \(\displaystyle \delta >0 \)이 존재하여

\(\displaystyle 0< \left| x- a \right| <\delta\)를 만족하는 모든 \(\displaystyle x\)에 대하여 \(\displaystyle \left| f(x)-L \right| < \epsilon \) 를 만족한다.  \(\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{i})\)

여기서 \(\displaystyle x\)를 \(\displaystyle x= a+h \)로 치환하자. 그러면 \(\displaystyle (\mathrm{i})\)은

\(\displaystyle 0< \left| (a+h)- a \right| <\delta\) 즉 \(\displaystyle 0< \left| \textcolor{red} {h}\right| <\delta\)를 만족하는 모든 \(\displaystyle \textcolor{red}{h}\)에 대하여 \(\displaystyle \left| f(a+\textcolor{red}{h})-L \right| < \epsilon \) 를 만족한다.  \(\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{ii})\)

\(\displaystyle g(x)= f(a+x)\)로 치환하면 \(\displaystyle  (\mathrm{ii})\)는  

\(\displaystyle 0< \left| \textcolor{red} {h}\right| <\delta\)를 만족하는 모든 \(\displaystyle \textcolor{red}{h}\)에 대하여 \(\displaystyle \left| g( \textcolor{red}{h})-L\right|=\left| f(a+\textcolor{red}{h})-L \right| < \epsilon \) 를 만족한다.  \(\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{iii})\)

즉 \(\displaystyle  (\mathrm{iii})\)은 \(\displaystyle \lim\limits_{h \rightarrow 0 }g(h)=L\)에 대한 극한의 정의이다.

따라서 \(\displaystyle  \lim\limits_{h \rightarrow0 }f(a+h)=L\) 이므로 증명되었다.

(\(\displaystyle \Longleftarrow \)) 역도 위의 과정과 똑같이 하면 증명된다.