[AP-Calculus] Proof of \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)=L \Longleftrightarrow \lim\limits_{h \rightarrow 0}f(a+h)=L\) [더플러스수학]

Prove that $\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L$ if and only if $\displaystyle  \lim\limits_{h \rightarrow }f(a+h)=L$. (Use the precise definition of limits with $\displaystyle \epsilon-\delta$)

-극한에 대한 엄밀한 정의인 $\displaystyle \epsilon-\delta$논법을 이용하여 다음이 서로 동치-필요충분조건임을 보이시오.

$\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L$ $\displaystyle \Longleftrightarrow$ $\displaystyle  \lim\limits_{h \rightarrow 0}f(a+h)=L$

 

증명) ($\displaystyle  \Longrightarrow$)

$\displaystyle \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) =L$이므로 극한의 정의에 의해

임의의 $\displaystyle \epsilon>0$에 대하여 적당한 $\displaystyle \delta >0$이 존재하여

$\displaystyle 0< \left| x- a \right| <\delta$를 만족하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle \left| f(x)-L \right| < \epsilon$ 를 만족한다.  $\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{i})$

여기서 $\displaystyle x$를 $\displaystyle x= a+h$로 치환하자. 그러면 $\displaystyle (\mathrm{i})$은

$\displaystyle 0< \left| (a+h)- a \right| <\delta$ 즉 $\displaystyle 0< \left| \textcolor{red} {h}\right| <\delta$를 만족하는 모든 $\displaystyle \textcolor{red}{h}$에 대하여 $\displaystyle \left| f(a+\textcolor{red}{h})-L \right| < \epsilon$ 를 만족한다.  $\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{ii})$

$\displaystyle g(x)= f(a+x)$로 치환하면 $\displaystyle  (\mathrm{ii})$는  

$\displaystyle 0< \left| \textcolor{red} {h}\right| <\delta$를 만족하는 모든 $\displaystyle \textcolor{red}{h}$에 대하여 $\displaystyle \left| g( \textcolor{red}{h})-L\right|=\left| f(a+\textcolor{red}{h})-L \right| < \epsilon$ 를 만족한다.  $\displaystyle \cdots\cdots ~(\mathrm{iii})$

즉 $\displaystyle  (\mathrm{iii})$은 $\displaystyle \lim\limits_{h \rightarrow 0 }g(h)=L$에 대한 극한의 정의이다.

따라서 $\displaystyle  \lim\limits_{h \rightarrow0 }f(a+h)=L$ 이므로 증명되었다.

($\displaystyle \Longleftarrow$) 역도 위의 과정과 똑같이 하면 증명된다.