[더플러스수학] 2006학년도 서울대 심층면접(특기자전형)

[서울대 2006학년도 특기자 수시]

함수 $ f: $ R → R 이 $ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} {\left\{ f \left ( a+h \right ) -f \left ( a-h \right ) \right\} =0} $을 만족할 때 “$ x=a $에서 대칭연속”이라고 정의하자. 함수 $ f $가 모든 점에서 대칭연속일 때 $ f $를 “대칭연속함수”라고 하자.

한편 다음 극한 $ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} { \frac {f \left ( a+h \right ) -f \left ( a-h \right )} {2h} } $가 존재할 때 “$ x=a $에서 대칭미분가능” 하다고 정의하고, 또한 모든 점에서 대칭미분가능하면 함수 $ f $가 “대칭미분가능” 하다고 하고, “대칭도함수” $ Df $를 모든 $ x $에 대하여 $ Df \left ( x \right ) = \lim\limits _ {h \rightarrow 0} { \frac {f \left ( x+h \right ) -f \left ( x-h \right )} {2h} } $로 정의하자. (R는 실수의 집합)

(1) 대칭연속함수는 연속함수인가? 연속함수는 대칭연속함수인가?

(2) 대칭불연속 함수의 예를 드시오.

(3) 대칭미분가능한 함수는 대칭연속인가?

(4) 대칭연속인 어떤 함수 $ f $에 대하여 모든 불연속한 점들의 집합을 $ S \left ( f \right ) $로 나타내자. 이 때 집합 $ S \left ( f \right ) $에 속하는 임의의 두 점 간의 거리들의 최솟값이 항상 존재하겠는가?

(5) 대칭연속이지만 대칭미분가능하지 않은 함수의 예를 들어라.

(6) 미분가능하지 않지만 대칭미분가능한 함수의 예를 들고 대칭도함수를 구하라.

(7) 대칭연속함수 $ f $에 대하여 $ f $가 연속인 모든 점 $ x=a $에서 $ \tilde {f} \left ( a \right ) =f \left ( a \right ) $를 만족하는 연속함수 $ \tilde {f} $가 유일하게 존재하겠는가? 이 사실을 이용하여 대칭 연속함수 $ f $의 부정적분과 정적분을 어떻게 정의하면 좋을 것인가 논하라.