[더플러스수학] 2019학년도 경북대 논술(AAT)

 

https://tv.kakao.com/channel/3372901/cliplink/401464617

---

수학 (문제1)

---

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) (1) 서로 다른 $ n $개에서 $ r $ ($ 0<r \leq n $)개를 택하는 순열의 수는

$$ {} _ {n} \mathrm {P} _ {r  } =  n \left ( n-1 \right ) \left ( n-2 \right ) \cdots \left ( n-r+1 \right ) $$

이다.

(2) 서로 다른 $ n $개에서 $ r $ ($ 0 <r \leq n $)개를 택하는 조합의 수는

$$ {} _ {n} \mathrm {C} _ { r } = \frac { {}_ {n } \mathrm {P} _ { r } } {  r!   } =   \frac {n!} {r! ( n-r)!} $$

이다. (단, $ {} _ {n} \mathrm {C} _ {0} =1 $이다.)

(3) 서로 다른 $ n $개에서 $ r $ ($ 0<r \leq n $)개를 택하는 중복조합의 수는

$$ {} _ {n} \mathrm {H} _ { r  } = {}_ { n+r-1  } \mathrm {C} _ { r } $$

이다.

 

(나) 한 번의 시행에서 사건 $ A $가 일어날 확률이 $ p $로 일정할 때, $ n $번의 독립시행에서 사건 $ A $가 일어나는 횟수를 $ r $라 하자.

(1) 확률변수 $ X $가 갖는 값은 $ 0,~1,~2,~ \cdots ,~n $이고, $ X $의 확률질량함수는

$$ \mathrm {P} ( X=x)={} _ {n} \mathrm {C} _ { x } \; p ^ {x} \left ( 1-p \right ) ^ {n-x} ~( x=0,~1,~2,~ \cdots ,~n )$$이며, 확률변수 $ X $가 이항분포 $ \mathrm {B} (  n,~p) $를 따른다고 한다.

(2) 확률변수 $ X $가 이항분포  $ \mathrm {B} (  n,~p) $를 따를 때

$$ \mathrm {E} (  X)=np ,~  \mathrm {V} (  X)=npq ,~  \sigma ( X)= \sqrt {n pq} $$ (단, $ q=1-p $)이다.

(다) 평균이 $ 0 $이고 분산이 $ 1 $인 정규분포 $ \mathrm N ( 0,~1) $을 표준정규분포라고 한다. 확률변수 $ Z $가 표준정규분포 $ \mathrm N ( 0,~1) $을 따른다고 할 때, 양수 $ z $에 대하여 확률 $ \mathrm P \left (  0 \leq Z \leq z \right ) $는 다음과 같은 표준정규분포표를 이용하여 구할 수 있다.

---

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】학생 $\displaystyle \mathrm A $가 수영 강습을 받기 위해, 다음 조건

$$ m _ {2} -m _ {1} \geq 3 ,~ m _ {3} -m _ {2} \geq 3 $$

을 만족시키도록 $ 2019 $년도의 열두 달 중 세 달 $ m _ {1} $월, $ m _ {2} $월, $ m _ {3} $월을 선택할 수 있는 모든 순서쌍 $ \left ( m _ {1} ,~m _ {2} ,~m _ {3} \right ) $의 개수를 구하시오. (30점)

 

【1-2】여덟 개의 면 중 $ k $개의 면에는 빨간색이 각각 칠해져 있고, 나머지 면에는 파란색이 각각 칠해져 있는 정팔면체 모양의 물체가 있다. 이 물체를 $ n $번 던져서 지면에 닿은 면이 빨간색이 되는 횟수를 $ X $라 하자. 확률변수 $ X $가 다음의 조건을 만족시킬 때, $ k $와 $ n $의 값을 구하시오. (단, 각각의 면에는 한 가지 색만 칠해져 있다.) (30점)

(a) $\displaystyle \mathrm E (  X)=4 \mathrm V (  X) $

(b) $\displaystyle \mathrm P (  X=1)=30 \rm P ( X=0) $

 

【1-3】확률변수 $\displaystyle X $가 정규분포 $\displaystyle \mathrm N \left (   m,~ \frac {4} {\left ( 2m+1 \right ) ^ {2} } \right ) $를 따른다고 한다. $\displaystyle \mathrm P (   X \leq 4)=0.9772 $일 때, 양수 $ m $의 값을 구하시오. (30점)

 

 

---

수학(문제2)

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) 미분가능한 함수 $\displaystyle h ( x) $에 대하여 $\displaystyle t=h ( x) $로 놓으면

$$ \int _ {} ^ {} {g \left ( h \left ( x \right ) \right )} h ' ( x)dx= \int _ {} ^ {} {} g \left ( t \right ) dt $$

이다.

(나) 함수 $\displaystyle g \left ( x \right ) $가 닫힌 구간 $\displaystyle [-a,~a] $에서 연속일 때, 이 구간의 모든 $ x $ 에 대하여 $\displaystyle g \left ( -x \right ) =-g \left ( x \right ) $이면

$$ \int _ {-a} ^ {a} {g \left ( x \right )} dx=0 $$

이다.

 

---

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

사차함수 $\displaystyle f ( x)=x ^ {4} =ax ^ {3} +bx ^ {2} +cx+d $가 다음 조건을 만족한다. (단, $ a,~b,~c,~d $는 상수이다.)

모든 실수 $\displaystyle x $에 대하여
$$ 3f ' \left ( x \right ) = \left ( x+3 \right ) f '' ( x) $$

이다.

 

【2-1】 $\displaystyle \frac {a} {b} $의 값을 구하시오. (30점)

 

【2-2】 함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) $에 대하여 $\displaystyle \frac {f \left ( 3 \right ) -f \left ( 0 \right )} {3} =f ' \left ( \alpha \right ) $를 만족시키는 실수 $\displaystyle \alpha $의 값을 구하시오. (20점)

 

【2-3】 함수 $ f \left ( x \right ) $가

$$ \int _ {-4} ^ {-2} {\left ( \sin \left ( \frac {x+3} {2} \right ) -\cos \left ( \frac {x+3} {2} \right ) \right )} ^ {2} f ( x)dx=0 $$

을 만족시킬 때, $ f ( -3) $의 값을 구하시오. (30점)

 

 

---

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) 두 초점 $ \mathrm F (  c,~0) $, $ \mathrm F ' (  -c,~0) $으로부터 거리의 합이 $ 2a $인 타원의 방정식은

$$ \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $$

(단, $ a > c > 0 $, $ b ^ {2} =a ^ {2} -c ^ {2} $)이다.

 

(나) 타원의 방정식 $\displaystyle \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $을 $ x $축의 방향으로 $ m $만큼, $ y $축의 방향으로 $ n $만큼 평행이동한 타원의 방정식은

$\displaystyle \frac { ( x-m) ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac { ( y-n) ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $

이다.

 

(다) 타원

$$ \frac {x ^ {2} } {a ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {b ^ {2} } =1 $$

위의 점 $ ( x _ {0} ,~y _ {0} ) $에서의 접선의 방정식은

$$ \frac {x _ {0} x} {a ^ {2} } + \frac {y _ {0} y} {b ^ {2} } =1 $$

이다.

 

(라) 삼각함수의 덧셈정리

$$ \tan \left ( \alpha + \beta \right ) = \frac {\tan \alpha +\tan \beta } {1-\tan \alpha \tan \beta } $$

$$ \tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac {\tan \alpha -\tan \beta } {1+\tan \alpha \tan \beta } $$

 

 

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

---

【3-1】 타원

$$ \frac {x ^ {2} } {4} +y ^ {2} -px-qy+1=0 $$

이 $ x $축에 접하고 단축의 길이가 $ 6 $일 때, 두 초점의 좌표를 구하시오. (단, $ p \geq 0 $, $ q \geq 0 $이고 $\displaystyle p ^ {2} + \frac {q ^ {2} } {4} >1 $이다.) (30점)

 

【3-2】 타원

$$ \frac {x ^ {2} } {4R ^ {2} } + \frac {y ^ {2} } {R ^ {2} } =1 $$

과 직선 $\displaystyle l~:~y=mx $의 교점 중 제1사분면 위의 점을 $ \mathrm P $라 하고, 점 $ \mathrm P $에서 타원에 접하는 직선을 $ l _ {2} $라 하자. (단, $ R>0 $, $ m>0 $이다.)

(1) 직선 $\displaystyle l _ {2} $의 기울기를 $\displaystyle f \left ( m \right ) $이라 할 때, $\displaystyle m f \left ( m \right ) $을 구하시오. (20점)

(2) 직선 $\displaystyle l _ {1} $과 직선 $ l _ {2} $가 이루는 예각의 크기를 $\displaystyle \theta \left ( m \right ) $이라 할 때, $\displaystyle \theta \left ( m \right ) $이 최소가 되도록 하는 $\displaystyle m $의 값을 구하시오. (30점)

 

 

---

[4] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

---

(가) 미분가능한 두 함수 $\displaystyle y=f \left ( u \right ) $, $\displaystyle u=g \left ( x \right ) $에 대하여 $\displaystyle y=f \left ( g \left ( x \right ) \right ) $의 도함수는

$$ y ' =f ' \left ( g \left ( x \right ) \right ) g ' \left ( x \right ) $$

이다.

(나) 닫힌 구간 $\displaystyle [a,~b] $에서 연속인 함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) $에 대하여 미분가능한 함수 $\displaystyle x=g \left ( t \right ) $의 도함수 $\displaystyle g ' ( t) $가 닫힌 구간 $\displaystyle [ \alpha ,~ \beta ] $에서 연속일 때,

$$ \int _ {a} ^ {b} {f \left ( x \right )} dx= \int _ {\alpha } ^ {\beta } {f ( g ( t))g ' ( t)dt} $$

이다. (단, $\displaystyle a=g \left ( \alpha \right ) $, $\displaystyle b=g \left ( \beta \right ) $이다.)

 

(다) 두 함수 $\displaystyle f \left ( x \right ) $, $ g \left ( x \right ) $가 미분가능하고 $\displaystyle f ' \left ( x \right ) ,~g ' \left ( x \right ) $가 연속일 때,

$$ \int _ {a} ^ {b} {f \left ( x \right ) g ' \left ( x \right )} dx= \left [ f ( x)g ( x) \right ] _ {a} ^ {b} - \int _ {a} ^ {b} {f ' \left ( x \right ) g \left ( x \right ) dx} $$

이다.

---

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

---

이차함수 $\displaystyle f ( x)=4ax ^ {2} -8ax $는

$$ \int _ {e} ^ {3} { \frac {2} {f ( x)} dx} =1-\ln \left ( 3e-6 \right ) $$

을 만족한다. (단, $\displaystyle a > 0 $이고 $\displaystyle e $는 자연로그의 밑이다.)

 

【4-1】 $ a $의 값을 구하시오. (15점)

 

【4-2】이차함수 $\displaystyle g ( x)= \frac {x ^ {2} } {4} -x+10 $과 구간 $\displaystyle \left ( 0,~ \infty \right ) $에서 정의된 함수

$$ h ( x)=x ^ {5} e ^ {-g ( x)} \frac {d} {dx} \left ( \frac {e ^ {f ( x)} } {x ^ {4} } \right ) $$

에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle h ( 1) $의 값을 구하시오. (15점)

(2) $\displaystyle \int _ {1} ^ {2} {\left ( \frac {d} {dx} e ^ {f ( x)} \right )} h ( x)dx= \frac {p} {e} +q $일 때, $ p+2q $의 값을 구하시오. (단, $ p,~q $는 유리수이다.) (30점)

 

【4-3】음이 아닌 두 실수 $\displaystyle c,~d $에 대하여 구간 $\displaystyle I= \left [ \frac {19} {10} ,~ \infty \right ) $에서 정의된 함수 $\displaystyle k \left ( x \right ) $는

$$ k \left ( x \right ) =\ln \left ( f ( x)+c \right ) +e ^ {-f ( x)} -d $$

이다. 함수 $\displaystyle k \left ( x \right ) $가 다음의 조건을 동시에 만족시킬 때, $ c $와 $ d $의 순서쌍 $\displaystyle \left ( c,~d \right ) $가 나타내는 영역의 넓이를 구하시오. (40점)

(a) 모든 $\displaystyle x \geq 2 $에 대하여 $\displaystyle k \left ( x \right ) \geq 0 $

(b) 모든 $\displaystyle x _ {1} ,~x _ {2} \in I $에 대하여 $ \left ( x _ {1} -x _ {2} \right ) \left ( k ( x _ {1} \right ) -k \left ( x _ {2} \right ) ) \geq 0 $