[2019학년도 이화여대수리논술] 이대수리논술

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[이화여대수리논술] 2019학년도 이화여대 수리논술

1. 

도형 $S$는 좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원을 직선 $x=h$ ($-1 \leq h \leq 1$)으로 왼쪽 부분을 자른 도형이다. 도형 $S$의 내부에 있고 가로는 $x$축에 평행하고 세로는 $y$축에 평행한 직사각형에 대하여 다음 물음에 답하시오. [40점]

(1) $h=-1$일 때, 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

(2) $h=- \frac {3} {4}$일 때, 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

(3) $h= \frac {1} {\sqrt {3} }$일 때, 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

2.

양의 실수 $a$에 대하여 함수 $g ( x)= \frac {1} {1+ax ^ {2} }$이고, 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f ( x)$가 아래의 조건을 만족시킨다.

$$f ' ( x)=g ( x)+xg ' ( x) , ~f ( 0)=0$$

다음 물음에 답하시오. [30점]

(1) 함수 $f ( x)$를 구하시오.

(2) 함수 $f ( x)$의 최댓값을 $M ( a)$라고 할 때, $M ( a)$를 구하시오.

(3) 문제 (2)에서 구한 최댓값 $M ( a)$에 대하여 다음의 극한값을 구하시오.

$$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left [ M ( n) \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left\{ M ( n)-M ( n+k) \right\} \right ]}$$

 

3.

이차함수 $f ( x)=ax ^ {2} +bx+c$가 있다. 모든 음이 아닌 정수 $n$에서 $f ( n)$이 정수가 되는 실수 $a,~b,~c$에 대하여 다음 물음에 답하시오. [30점]

(1) $f ( 0),~f ( 1),~f ( 2)$가 모두 정수가 되는 실수 $a,~b,~c$의 조건을 제시하시오.

(2) 문제 (1)에서 제시된 실수 $a,~b,~c$의 조건을 이용하여 $3$ 이상인 모든 자연수 $n$에서 $f ( n)$이 정수임을 보이시오.

(3) 모든 음의 정수 $m$에서 $f ( m)$이 정수임을 보이시오.

(4) 구간 $[0,~10]$에 속하는 실수 $a,~b$에 대하여 모든 정수 $n$에서 $f ( n)$이 정수가 되는 순서쌍 $( a,~b)$의 개수를 구하시오.