[더플러스수학] 2019학년도 부산대학교 수리논술

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【문항 1】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) 함수 $ f ( x) $의 도함수 $ f ' ( x) $가 미분가능하면 $ f ' ( x) $의 도함수 $$ \lim\limits _ {\Delta x \rightarrow 0} {} \frac {f ' ( x+ \Delta x)-f ' ( x)} {\Delta x} $$ 를 함수 $ f ( x) $의 이계도함수라고 하며, 이것을 $ f '' ( x) $로 나타낸다. (나) 미분가능한 함수 $ g ( t) $에 대하여 $ x=g ( t) $로 놓으면 $$ \int   {f ( x)dx} = \int  f ( g ( t))g ' ( t)dt $$ 이고, 이를 이용하면 $$ \int  { \frac {f ' ( x)} {f ( x)} dx}  =\ln \left | f ( x) \right | +C $$ (단, $ C $는 적분상수) 가 성립한다.

 

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 $ f ( x) $가

$$ f ( x)= \int _ {0} ^ {x} {\sqrt {\left\{ f ( t) \right\} ^ {2} +1} } dt $$

를 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

[1-1] $ f ( x) $와 $ f '' ( x) $의 관계식을 구하고, $ f ( x) $를 구하시오. (20점)

[1-2] $ \int _ {0} ^ {1} {\left\{ \frac {f ( x)} {f ' ( x)} \right\} ^ {2} dx} $를 구하시오. (15점)

 

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【문항 2】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) $ x $에 대한 함수 $ y $가 방정식 $ f ( x,y)=0 $으로 주어졌을 때, $ y $는 $ x $의 음함수 표현이라고 한다. $ x $의 함수 $ y $가 음함수 $ f ( x,y)=0 $의 꼴일 때에는 $ y $를 $ x $의 함수로 보고, 각 항을 $ x $에 대하여 미분하여 $ \frac {dy} {dx} $를 구할 수 있다. 예를 들어 음함수 $ x ^ {2} -2xy+4y ^ {2} =0 $의 도함수 $ \frac {dy} {dx} $를 구하면 다음과 같다. $$ \frac {d} {dx} \left ( x ^ {2} \right ) - \frac {d} {dx} ( 2xy)+ \frac {d} {dx} \left ( 4y ^ {2} \right ) =0 $$ $$ 2x- \left ( 2y+2x \frac {dy} {dx} \right ) +8y \frac {dy} {dx} =0 $$ $$ \therefore ~ \frac {dy} {dx} = \frac {x-y} {x-4y} \left ( x \neq 4y \right ) $$ (나) 두 함수 $ f ( x),~g ( x) $ $ \left ( g ( x) \neq 0 \right ) $가 미분가능할 때, $ y= \frac {f ( x)} {g ( x)} $이면 $$ y ' = \frac {f ' ( x)g ( x)-f ( x)g ' ( x)} {\left\{ g ( x) \right\} ^ {2} } $$

 

[2-1] 실수 $ t $ ($ t>2 $)에 대하여 좌표평면의 점 $ \textrm P \text ( 0,~t) $에서 타원 $ \frac {x ^ {2} } {9} + \frac {y ^ {2} } {4} =1 $에 그은 두 접선의 방정식을 $ t $에 관한 식으로 나타내시오. (15점)

[2-2] 실수 $ t $ ($ t>2 $)에 대하여 좌표공간의 점 $ \rm {Q}$ $ ( 0, ~ t,~ t+2) $에서 $ xy $평면에 내린 수선의 발을 $ \rm P $라 하자. 점 $ \rm P $에서 $ xy $평면 위에 있는 타원

$$ \frac {x ^ {2} } {9} + \frac {y ^ {2} } {4} =1 ,~ z=0 $$

에 그은 두 접선이 직선

$$ y=-2 ,~ z=0 $$

과 만나는 두 점을 각각 $ \rm A,~B $라 할 때, [2-1]의 결과를 이용하여 사면체 $ \rm QPAB $의 부피의 최솟값을구하시오. (20점)

 

 

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【문항 3】다음 제시문을 이용하여 아래 논제의 풀이 과정과 답을 논리적으로 서술하시오.

(가) $ n $개 중에서 같은 것이 각각 $ p $개, $ q $개, $ \cdots $, $ r $개 있을 때, $ n $개를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는 $$ \frac {n!} {p!q! \cdots r!} $$ (단, $ p+q+ \cdots +r=n $) (나) 사건 $ A $가 일어났을 때 사건 $ B $의 조건부확률은 $$ \rm P ( \text B|A)= \frac {\rm P ( \text A \cap B)} {\rm P ( \text A)} $$ (단, $ \rm P ( \text A)>0 $)

 

그림과 같이 인접한 두 지점 사이의 거리가 $ 1 $인 정삼각형 모양의 도로망이 있다. 이 도로망을 따라서 이동하려고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

[3-1] $ \rm A $지점에서 출발하여 $ \rm C $지점으로 이동하려고 할 때, 이동거리가 $ 5 $인 경로는 몇 가지인지 구하시오.  (10점)

[3-2] 주머니 안에 $ 1,2,3 $의 숫자가 각각 하나씩 적혀 있는 세 장의 카드가 있다. 다음과 같은 방법으로 도로망을 따라서 $ 1 $만큼 이동하는 것을 시행이라고 하자.

[단계 1] 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 뽑았을 때 $ 1 $이 적힌 카드이면 $ \swarrow $방향으로, $ 2 $가 적힌 카드이면 $ \searrow $방향으로, $ 3 $이 적힌 카드이면 $ \rightarrow $방향으로 도로망을 따라서 $ 1 $만큼 이동한다. 만약 $ 3 $이 적힌 카드를 뽑아서 이동을 할 수 없을 때에는 남은 두 장의 카드 중에서 한 장의 카드를 다시 뽑아서 $ 1 $이 적힌 카드를 뽑으면 ↙방향으로, $ 2 $가 적힌 카드를 뽑으면 $ \searrow $방향으로 도로망을 따라서 $ 1 $만큼 이동한다. [단계 2] $ 1 $만큼 이동을 하고 나면 모든 카드를 주머니에 다시 넣는다.

이와 같은 시행을 반복하여 $ \rm A $지점에서 출발하여 $ \rm B $지점으로 이동하였다고 할 때, $ \rm A $지점에서 $ \rm B $지점까지 이동한 거리를 확률변수 $ X $라 하자. 이때, $ \frac {\rm P ( \text X=3)} {\rm P ( \text X=4)} $의 값을 구하시오. (20점)  (단, 시행은 최대 $ 5 $번까지 할 수 있다.)