[2020학년도 9월 17번] 9월 평가원 가형 17번 풀이

https://tv.kakao.com/v/401865773

 

2020학년도 9월 평가원 가형 17번

두 함수 $ f \left ( x \right ) $, $ g \left ( x \right ) $는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $ x $에 대하여 $ f \left ( x \right ) g \left ( x \right ) =x ^ {4} -1 $이다. (나) $ \int _ {-1} ^ {1} {\left\{ f \left ( x \right ) \right\} ^ {2} g ' \left ( x \right ) dx} =120 $

 

$ \int _ {-1} ^ {1} {x ^ {3} f \left ( x \right ) dx} $의 값은? [$ 4 $점]

① $ 12 $           ② $ 15 $            ③ $ 18 $

④ $ 21 $            ⑤ $ 24 $

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 2번

(가)에서 $ g ( x)= \frac {x ^ {4} -1} {f ( x)} $를 미분하면

$$ g ' ( x)= \frac {4x ^ {3} f ( x)- \left ( x ^ {4} -1 \right ) f ' ( x)} {\left\{ f ( x) \right\} ^ {2} } $$

$$\therefore~\left \{ f(x) \right\}^2 g'(x)=4x^3 f(x)- \left( x^4 -1 \right) f'(x)$$

$$ 120=\int_{-1}^{1} \left\{ f(x) \right\} dx=\int _{-1}^{1} 4x^3 f(x)dx=\int_{1}^1 \left(x^4 -1 \right) f'(x)dx~ \cdots\cdots (*)$$

한편 적분 $ \int _ {-1} ^ {1} {\left ( x ^ {4} -1 \right ) f ' ( x)dx} $을 변형하면

$$ \int _ {-1} ^ {1} {\left ( x ^ {4} -1 \right ) f ' ( x)dx}  = \int _ {-1} ^ {1} {x ^ {4} f ' ( x)dx} - \int _ {-1} ^ {1} {f ' ( x)dx} $$

$$ = \left [ x ^ {4} f ( x) \right ] _ {-1} ^ {1} - \int _ {-1} ^ {1} {} 4x ^ {3} f ( x)dx+f ( 1)-f ( -1) $$

$$ = 1^4 f(1)-(-1)^4 f(-1) - \int_{-1}^1 4x^3 f(x)dx+ f(1)+f(-1)=-4 \int_{-1}^1 x^3 f(x)dx$$

($* $)에 위의 식을 대입하면

$$ 120  =4 \int _ {-1} ^ {1} {x ^ {3} f ( x)dx} +4 \int _ {-1} ^ {1}  x ^ {3} f ( x)dx  $$

$$ =8 \int_{-1}^1 x^3 f(x)dx$$

$$ \therefore ~ \int _ {-1} ^ {1} {x ^ {3} f ( x)dx=15} $$