[2020학년도 9월 가형 30번] 9월 평가원 30번 킬러문항 풀이

#울산남구 수학학원#더플러스수학

https://tv.kakao.com/v/401832306

 

[2020학년도 9월 가형 30번] 9월 평가원 30번 킬러문항 풀이

 

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f ( x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 

$f ' ( x ^ {2} +x+1)= \pi f ( 1) \sin \pi x+f ( 3)x+5x ^ {2}$

을 만족시킬 때, $f ( 7)$의 값을 구하시오. [$4$점]

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 $93$

준식의 양변에 $( 2x+1)$을 곱하면

$\left ( 2x+1 \right ) \cdot f ' ( x ^ {2} +x+1)$$= \pi f ( 1) \cdot \left ( 2x+1 \right ) \sin \pi x+f ( 3) \cdot \left ( 2x ^ {2} +x \right ) +5 \left ( 2x ^ {3} +x ^ {2} \right )$

양변을 $x$에 대해 적분하면

$$f \left ( x ^ {2} +x+1 \right ) = \pi f ( 1) \int _ {} ^ {} {\left ( 2x+1 \right ) \sin \pi x} dx+f ( 3) \cdot \left ( \frac {2} {3} x ^ {3} + \frac {1} {2} x ^ {2} \right )$$

$$+5 \cdot \left ( \frac {1} {2} x ^ {4} + \frac {1} {3} x ^ {3} \right )$$

이때

$$\int _ {} ^ {} {\left ( 2x+1 \right ) \cdot \sin \pi x} dx = \int _ {} ^ {} {\left ( 2x+1 \right ) \cdot \left ( - \frac {1} {\pi } \cdot \cos \pi x \right ) ' } dx$$ $$=- \frac {2x+1} {\pi } \cdot \cos \pi x+ \int _ {} ^ {} { \frac {2} {\pi } \cos \pi x} dx - \frac {2x+1} {\pi } \cdot \cos \pi x+ \frac {2} {\pi ^ {2} } \sin \pi x+C$$

(단, $C$는 적분상수)이므로

$$\therefore ~ f \left ( x ^ {2} +x+1 \right )  =f ( 1) \cdot \left\{ \left ( -2x-1 \right ) \cdot \cos \pi x+ \frac {2} {\pi } \sin \pi x \right\}$$

$$+ \left ( \frac {2} {3} x ^ {3} + \frac {1} {2} x ^ {2} \right ) \cdot f ( 3)+5 \left ( \frac {1} {2} x ^ {4} + \frac {1} {3} x ^ {3} \right ) +C \cdots ( * )$$

(단, $C$는 적분상수)

식 $(*)$의 양변에 $x=0$을 대입하면

$f ( 1)=-f ( 1)+C$에서 $C=2f ( 1)$$

식 $( * )$의 양변에 $x=-1$을 대입하면 $f ( 1)=-f ( 1)- \frac {1} {6} f ( 3)+ \frac {5} {6} +C$에서 $f ( 3)=5$

식 $( * )$의 양변에 $x=1$을 대입하면 $f ( 3)=3f ( 1)+ \frac {7} {6} f ( 3)+ \frac {25} {6} +C$에서 $f ( 1)=-1$

식 $( * )$의 양변에 $x=2$를 대입하면

$f ( 7)$$=-5f ( 1)+ \frac {22} {3} f ( 3)+ \frac {160} {3} +C$$= \frac {22} {3} \times 5+3+ \frac {160} {3}$$=93$