[2020학년도 9월 가형 30번] 9월 평가원 30번 킬러문항 풀이

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[2020학년도 9월 가형 30번] 9월 평가원 30번 킬러문항 풀이

 

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $ f ( x) $가 모든 실수 $ x $에 대하여 

$ f ' ( x ^ {2} +x+1)= \pi f ( 1) \sin \pi x+f ( 3)x+5x ^ {2} $

을 만족시킬 때, $ f ( 7) $의 값을 구하시오. [$ 4 $점]

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 $ 93 $

준식의 양변에 $ ( 2x+1) $을 곱하면

$ \left ( 2x+1 \right ) \cdot f ' ( x ^ {2} +x+1) $$ = \pi f ( 1) \cdot \left ( 2x+1 \right ) \sin \pi x+f ( 3) \cdot \left ( 2x ^ {2} +x \right ) +5 \left ( 2x ^ {3} +x ^ {2} \right ) $

양변을 $ x $에 대해 적분하면

$$ f \left ( x ^ {2} +x+1 \right ) = \pi f ( 1) \int _ {} ^ {} {\left ( 2x+1 \right ) \sin \pi x} dx+f ( 3) \cdot \left ( \frac {2} {3} x ^ {3} + \frac {1} {2} x ^ {2} \right ) $$

$$ +5 \cdot \left ( \frac {1} {2} x ^ {4} + \frac {1} {3} x ^ {3} \right ) $$

이때

$$ \int _ {} ^ {} {\left ( 2x+1 \right ) \cdot \sin \pi x} dx = \int _ {} ^ {} {\left ( 2x+1 \right ) \cdot \left ( - \frac {1} {\pi } \cdot \cos \pi x \right ) ' } dx $$$$ =- \frac {2x+1} {\pi } \cdot \cos \pi x+ \int _ {} ^ {} { \frac {2} {\pi } \cos \pi x} dx - \frac {2x+1} {\pi } \cdot \cos \pi x+ \frac {2} {\pi ^ {2} } \sin \pi x+C $$

(단, $ C $는 적분상수)이므로

$$ \therefore ~ f \left ( x ^ {2} +x+1 \right )  =f ( 1) \cdot \left\{ \left ( -2x-1 \right ) \cdot \cos \pi x+ \frac {2} {\pi } \sin \pi x \right\} $$

$$ + \left ( \frac {2} {3} x ^ {3} + \frac {1} {2} x ^ {2} \right ) \cdot f ( 3)+5 \left ( \frac {1} {2} x ^ {4} + \frac {1} {3} x ^ {3} \right ) +C \cdots ( * ) $$

(단, $ C $는 적분상수)

식 $ (*) $의 양변에 $ x=0 $을 대입하면

$ f ( 1)=-f ( 1)+C $에서 $ C=2f ( 1) $$

식 $ ( * ) $의 양변에 $ x=-1 $을 대입하면 $ f ( 1)=-f ( 1)- \frac {1} {6} f ( 3)+ \frac {5} {6} +C $에서 $ f ( 3)=5 $

식 $ ( * ) $의 양변에 $ x=1 $을 대입하면 $ f ( 3)=3f ( 1)+ \frac {7} {6} f ( 3)+ \frac {25} {6} +C $에서 $ f ( 1)=-1 $

식 $ ( * ) $의 양변에 $ x=2 $를 대입하면

$ f ( 7) $$ =-5f ( 1)+ \frac {22} {3} f ( 3)+ \frac {160} {3} +C $$ = \frac {22} {3} \times 5+3+ \frac {160} {3} $$ =93 $