[2020학년도 9월 평가원] 2020학년도 9월 가형 19번풀이

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2020학년도 9월 가형 19번

좌표평면 위에 두 점 $ \rm A ( 1,~0),~B ( 0,~1) $이 있다. 중심각의 크기가 $ \frac {\pi } {2} $인 부채꼴 $ \rm OAB $의 호 $ \rm AB $ 위를 움직이는 점 $ \rm X $와 함수 $ y= ( x-2) ^ {2} +1~ ( 2 \leq x \leq 3) $의 그래프 위를 움직이는 점 $ \rm Y $에 대하여 $ \overrightarrow {\rm OP \it } = \overrightarrow {\rm OY \it } - \overrightarrow {\rm OX \it } $를 만족시키는 점 $ \rm P $가 나타내는 영역을 $ R $라 하자. 점 $ \rm O $로부터 영역 $ R $에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 $ M $, 최솟값을 $ m $이라 할 때, $ M ^ {2} +m ^ {2} $의 값은? (단, $ \rm O $는 원점이다.) [$ 4 $점]              

① $ 16-2 \sqrt {5} $               ② $ 16- \sqrt {5} $               ③ $ 16 $

④ $ 16+ \sqrt {5} $               ⑤ $ 16+2 \sqrt {5} $

 

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정답 1번

$ \rm \overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OY} - \overrightarrow {OX} = \overrightarrow {XY} $이므로 원점과 점 $ \rm P $가 나타내는 영역 $ R $까지 거리의 최댓값과 최솟값은 선분 $ \rm \overline {XY} $의 길이의 최대, 최소로 얻으면 된다.

즉, 선분 $ \rm \overline {XY} $가 아래 그림에서와 같이 위치할 때이다.

따라서 최댓값 $ M $과 최솟값 $ m $은

$$ M= \sqrt {\left ( 3-0 \right ) ^ {2} + \left ( 2-1 \right ) ^ {2} } = \sqrt {10} $$

$$ m= \sqrt {2 ^ {2} +1 ^ {2} } -1= \sqrt {5} -1 $$

$ \therefore ~ $ $ M ^ {2} +m ^ {2} $$ = \sqrt {10} ^ {2} + \left ( \sqrt {5} -1 \right ) ^ {2} $ $ =16-2 \sqrt {5} $