[2020학년도 가형 9월 15번] 2020학년도 평가원 9월 15번

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2020학년도 평가원 9월 15번

함수 $ y=e ^ {x} $의 그래프 위의 $ x $좌표가 양수인 점 $ \rm A $ 와 함수 $ y= -\ln x $의 그래프 위의 점 $ \rm B $가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $ \overline {\rm OA}$  $=2 \overline {\rm OB  } $

(나) $ \angle \rm AOB $$ =90° $

직선 $ \rm OA $의 기울기는? (단, $ \rm O $는 원점이다.) [$ 4 $점]

① $ e $                     ② $ \frac {3} {\ln 3} $               ③ $ \frac {2} {\ln 2} $

④ $ \frac {5} {\ln 5} $                  ⑤ $ \frac {e ^ {2} } {2} $

 

 

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정답 ③

$ \rm A$ $( a,~e ^ {a} ) $, $ \rm B $$ ( b,~-\ln b) $라 하면 $ a>0,~b>0 $

(가)의 조건에 의해

$$ \rm \overline {OA} =2 \overline {OB} ,~ \rm \overline {OA} ^ {2} =4 \overline {OB} ^ {2} $$

(나)의 조건에 의해

$$ \frac {e ^ {a} } {a} \times \frac {-\ln b} {b} =   -1 ,~  \frac {e ^ {a} } {a} = \frac {b} {\ln b} $$

(가)를 정리하면

$$ a ^ {2} +e ^ {2a} =4 ( b ^ {2} + ( \ln b) ^ {2} ) $$

$$ a ^ {2} \left\{ 1+ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} \right\} =4 ( \ln b) ^ {2} \left\{ \left ( \frac {b} {\ln b} \right ) ^ {2} +1 \right\} $$

(나)조건에 의해 $ \frac {e ^ {a} } {a} = \frac {b} {\ln b} $이므로

$$ a ^ {2} \left\{ 1+ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} \right\} =4 ( \ln b) ^ {2} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\} $$

$$ a ^ {2} \left\{ 1+ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} \right\} -4 ( \ln b) ^ {2} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\} =0 $$

$$ \left\{ a ^ {2} -4 ( \ln b) ^ {2} \right\} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\} =0 $$

$$ \left\{ a-2 ( \ln b) ^ {} \right\} \left\{ a ^ {} +2 ( \ln b) ^ {} \right\} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\} =0 $$

$ a ^ {} +2 ( \ln b) ^ {} >0 $ , $ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1>0 $ ($ a>0,~b>0 $) 이므로

$ a=2\ln b $, $ b=e ^ { \frac {a} {2} } $이고 이 식을 $ \frac {e ^ {a} } {a} = \frac {b} {\ln b} $에 대입하여 정리하면 $ \frac {e ^ {a} } {a} = \frac {e ^ { \frac {a} {2} } } { \frac {a} {2} } $, $ \frac {1} {2} e ^ {a} =e ^ { \frac {a} {2} } $ 양변을 제곱하여 정리하면 $ e ^ {2a} =4e ^ {a} $이고 $ e ^ {a} ( e ^ {a} -4)=0 $이므로 $ e ^ {a} =4 $, $ a=\ln 4 $

$ \rm \overline {OA} $의 기울기는 $ \frac {e ^ {a} } {a} = \frac {4} {\ln 4} = \frac {2} {\ln 2} $