[2020학년도 가형 9월 15번] 2020학년도 평가원 9월 15번

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2020학년도 평가원 9월 15번

함수 $y=e ^ {x}$의 그래프 위의 $x$좌표가 양수인 점 $\rm A$ 와 함수 $y= -\ln x$의 그래프 위의 점 $\rm B$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overline {\rm OA}$  $=2 \overline {\rm OB  }$

(나) $\angle \rm AOB$$=90°$

직선 $\rm OA$의 기울기는? (단, $\rm O$는 원점이다.) [$4$점]

① $e$                     ② $\frac {3} {\ln 3}$               ③ $\frac {2} {\ln 2}$

④ $\frac {5} {\ln 5}$                  ⑤ $\frac {e ^ {2} } {2}$

 

 

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정답 ③

$\rm A$ $( a,~e ^ {a} )$, $\rm B$$( b,~-\ln b)$라 하면 $a>0,~b>0$

(가)의 조건에 의해

$$\rm \overline {OA} =2 \overline {OB} ,~ \rm \overline {OA} ^ {2} =4 \overline {OB} ^ {2}$$

(나)의 조건에 의해

$$\frac {e ^ {a} } {a} \times \frac {-\ln b} {b} =   -1 ,~  \frac {e ^ {a} } {a} = \frac {b} {\ln b}$$

(가)를 정리하면

$$a ^ {2} +e ^ {2a} =4 ( b ^ {2} + ( \ln b) ^ {2} )$$

$$a ^ {2} \left\{ 1+ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} \right\} =4 ( \ln b) ^ {2} \left\{ \left ( \frac {b} {\ln b} \right ) ^ {2} +1 \right\}$$

(나)조건에 의해 $\frac {e ^ {a} } {a} = \frac {b} {\ln b}$이므로

$$a ^ {2} \left\{ 1+ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} \right\} =4 ( \ln b) ^ {2} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\}$$

$$a ^ {2} \left\{ 1+ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} \right\} -4 ( \ln b) ^ {2} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\} =0$$

$$\left\{ a ^ {2} -4 ( \ln b) ^ {2} \right\} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\} =0$$

$$\left\{ a-2 ( \ln b) ^ {} \right\} \left\{ a ^ {} +2 ( \ln b) ^ {} \right\} \left\{ \left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1 \right\} =0$$

$a ^ {} +2 ( \ln b) ^ {} >0$ , $\left ( \frac {e ^ {a} } {a} \right ) ^ {2} +1>0$ ($a>0,~b>0$) 이므로

$a=2\ln b$, $b=e ^ { \frac {a} {2} }$이고 이 식을 $\frac {e ^ {a} } {a} = \frac {b} {\ln b}$에 대입하여 정리하면 $\frac {e ^ {a} } {a} = \frac {e ^ { \frac {a} {2} } } { \frac {a} {2} }$, $\frac {1} {2} e ^ {a} =e ^ { \frac {a} {2} }$ 양변을 제곱하여 정리하면 $e ^ {2a} =4e ^ {a}$이고 $e ^ {a} ( e ^ {a} -4)=0$이므로 $e ^ {a} =4$, $a=\ln 4$

$\rm \overline {OA}$의 기울기는 $\frac {e ^ {a} } {a} = \frac {4} {\ln 4} = \frac {2} {\ln 2}$