[2019학년도 이화여대 의대논술] 이화여대 의대논술

 

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1.

도형 $ S $는 좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $ 1 $인 원을 직선 $ x=h $ ($ -1 \leq h \leq 1 $)으로 왼쪽 부분을 자른 도형이다. 도형 $ S $의 내부에 있고 가로는 $ x $축에 평행하고 세로는 $ y $축에 평행한 직사각형에 대하여 다음 물음에 답하시오. [40점]

(1) $ h=-1 $일 때, 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

(2) $ h=- \frac {3} {4} $일 때, 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

(3) $ h=- \frac {1} {\sqrt {6} } $일 때, 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

 

 

2.

양의 실수 $ a $에 대하여 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $ f ( x) $가 아래의 조건을 만족시킨다.

$$ f ' ( x)= \frac {1} {1+ax ^ {2} } \left ( 1- \frac {2ax ^ {2} } {1+ax ^ {2} } \right ) ,~ f ( 0)=0 $$

다음 물음에 답하시오. [30점]

(1) 함수 $ f ( x) $를 구하시오.

(2) 함수 $ f ( x) $의 최댓값을 $ M ( a) $라고 할 때, $ M ( a) $를 구하시오.

(3) 문제 (2)에서 구한 최댓값 $ M ( a) $에 대하여 다음의 극한값을 구하시오.

$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\left [ M ( n) \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left\{ M ( n)-M ( n+k) \right\}  \right ]} $$

 

3.

삼차함수 $ f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx+c $가 있다. 모든 음이 아닌 정수 $ n $에서 $ f ( n) $이 정수가 되는 실수 $ a,~b,~c $에 대하여 다음 물음에 답하시오. [30점]

(1) 삼차함수 $ f ( x) $가 위의 조건을 만족하는 실수 $ a,~b,~c $의 조건을 제시하시오.

(2) 문제 (1)에서 제시된 실수 $ a,~b,~c $의 조건을 이용하여 모든 음이 아닌 정수 $ n $에서 $ f ( n) $이 정수임을 보이시오.

(3) 모든 음의 정수 $ m $에서 $ f ( m) $이 정수임을 보이시오.

(4) 구간 $ [0,~k] $에 속하는 실수 $ a,~b $에 대하여 모든 정수 $ n $에서 $ f ( n) $이 정수가 되는 순서쌍 $ ( a,~b) $의 개수가 항상 홀수임을 설명하시오. (단, $ k $는 자연수이다.)