수학과 공부이야기/선형대수학
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[더플러스수학]과학고2학년 고급수학 2학기기말대비 프린트수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 12. 8. 14:29
2. 삼각행렬의 고윳값은 그 행렬의 대각원소들임을 보여라. https://youtu.be/1XNEOX-QZ9E YouTube www.youtube.com 3. $ A $를 $ n \times n $행렬이라 할 때, $ A $가 특이행렬이기 위한 필요충분조건은 $ \lambda =0 $이 $ A $의 고유값임을 증명하여라. https://youtu.be/z6ySn83qVE4 YouTube www.youtube.com 4. $ A $가 비특이행렬이고 $ \lambda $가 $ A $의 고윳값이라 하자. $ \large{\frac {1} {\lambda }} $가 $ A ^ {-1} $의 고윳값임을 증명하라. https://youtu.be/HgGecSWsUtI YouTube www.youtube.com 5. ..
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[수학의 기초] 기저와 기저변환 행렬수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 11. 11. 16:02
기저와 기저변환행렬이란?선형대수학 또는 고등학교 과정의 기하와 벡터 단원에서 기저(basis)란 용어가 등장한다.중$\cdot$고등과정에서 좌표를 말할 때, 그 속에서는 기저라는 내용이 암묵적으로 들어가 있다. 예를 들어 $\mathrm P(2,~3)$이란 좌표를 말할 때는 다음과정이 진행된다.먼저 원점(Origin)을 먼저 생각하고 원점을 지나는 서로 수직인 두 개의 축을 생각했을 때, 흔히 우리는 $x$축, $y$축을 말한다. $\mathrm P$의 좌표가 $(2,~3)$이란 말은 점 $\mathrm P$에서 $x$축에 내린 수선의 발의 눈금을 읽으면 $2$이고 $y$축에 내린 수선의 발의 눈금이 $3$이란 말이다. 이 눈금을 순서로 읽어서 $(2,~3)$으로 적는다. 여기서 순서로 쌍을 괄로로 묶는..
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[수학의 기초] 정사영 벡터 - orthogonal Projection vector수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 10. 30. 22:21
먼저 정사영 벡터에 대해 알아 보자. 위의 그림에서 $\overrightarrow{v}$의 종점 $\mathrm P$를 $\overrightarrow{u}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm H$라 할 때, $\overrightarrow {\mathrm{OH}}$을 벡터 $\overrightarrow v$의 벡터 $\overrightarrow u$ 위로의 정사영벡터라고 하고 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$를 $\overrightarrow {\mathrm{OH}}=\mathrm{Proj}_{u}v$로 나타낸다. 또, $$\mathrm{Proj}_{u}v = \frac{ u \cdot v}{u \cdot u}u$$ (증명) $\overrightarrow {\mathrm{OH}}$는 ..
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[고급수학 중간고사] 증명문제 정리수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 9. 28. 12:48
#더플러스수학, #울산과고 중간고사 대비 고급수학 증명문제 모음 정의. 비특이행렬(non-singular matrix), 가역행렬(invertible matrix) 정규행렬(regular matrix) $ n $차 정사각행렬 $ A $, $ B $에 대하여 $ AB=I _ {n} =BA $를 만족하는 행렬 $ B $가 존재할 때, 행렬 $ A $를 비특이행렬(non-singular matrix) 또는 가역행렬(invertible matrix) 또는 정규행렬(regular matrix)이라 부른다. 또, 행렬 $ B $를 행렬 $ A $의 역행렬이라 부르고 행렬 $ A $가 역행렬을 가지지 않을 때, 행렬 $ A $를 특이행렬(singular matrix)라고 부른다. 1. 단위행렬의 유일성 $ n $차 ..
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[선형대수학-일차변환] Linear Mappings수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 9. 20. 11:46
Linear Mappings 1. Suppose the mapping $ F~:~R ^ {2} \rightarrow R ^ {2} $ is defined by $ F ( x,~y)= ( x+y,~x) $. Show that F is linear. pf) We need to show that $ F ( v+w)=F ( v)+F ( w) $ and $ F ( kv)=kF ( v) $, where $ v $ and $ w $ are any elements of $ R ^ {2} $ and $ k $ is any scalar. Let $ v= ( a,~b) $ and $ w= ( a ' ,~b ' ) $. Then $ v+w= ( a+a ' ,~b+b ' ) $ and $ kv= ( ka,~kb) $ We ha..
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[행렬식] 행렬식의 성질과 문제풀이수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 9. 20. 11:14
Properties of Determinants THEOREM 8.1: The determinant of a matrix $ A $ and its transpose $ A ^ {T} $ are equal; that is, $ |A|=|A ^ {T} | $. Note that expanding A by column k is equivalent to expanding AT by row k. THEOREM 8.2: Let $ A $ be a square matrix. (i) If $ A $ has a row (column) of zeros, then $ |A|=0 $. (ii) If $ A $ has two identical rows (columns), then $ |A|=0 $. (iii) If $ A $ ..
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[선형대수학] 연립방정식과 Echelon Form 문제풀이수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 9. 19. 20:05
Systems in Triangular and Echelon Form 1. Determine the pivot and free variables in each of the following systems: (a) $$ \begin{split} 2x _ {1} -3x _ {2} -6 x _ {3} -5 x _ {4} +2 x _ {5} = 7 \\ x _ {3} +3 x _ {4} -7 x _ {5} = 6\\ x _ {4} -2 x _ {5} = 1 \end{split}$$ (b) $$ \begin{split} 2x-6y +7z=1\\4y+3z=8\\ -2z=4 \end{split}$$ (c) $$ \begin{split} &x+2y-3&z&=2\\2&x+3y+&z&=4\\3&x+4y+5&z&=8\end..
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[선형대수학] 행렬 연산 문제풀이수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 9. 19. 19:45
1. Prove Theorem 2.2(i) : $ \left ( AB \right ) C=A \left ( BC \right ) $. pf) Let $ A=[a _ {ij} ] $, $ B=[b _ {jk} ] $, $ C=[c _ {kl} ] $, and let $ AB=S=[s _ {ik} ] $, $ BC=T=[t _ {jl} ] $. Then $ s _ {ik} = \sum\limits _ {j=1} ^ {m} a _ {ij} b _ {jk} $ and $ t _ {jl} = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} b _ {jk} c _ {kl} $ Multiplying $ S=AB $ by $ C $, the $ il- $entry of $ \left ( AB \right ) C $ is..
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2. 행렬식수학과 공부이야기/선형대수학 2019. 8. 31. 17:17
2. 행렬식 정의 2.1.1. 행렬식 $ n $차의 정사각행렬 $ A $의 행렬식을 $ |A| $ 또는 $ detA $로 나타내며, 다음과 같이 귀납적으로 정의한다. (i) $ n=1 $일 때, $ |a _ {11} |=a _ {11} $ (ii) $ n>1 $일 때, $$ \left| \matrix {a _ {11} & a _ {12} & \cdots & a _ {1n} \\a _ {21} & a _ {22} & \cdots & a _ {2n} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a _ {n1} & a _ {n2} & \cdots & a _ {nn} } \right| = \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( -1) ^ {i+n} a _ {i n }..