[연세대수리논술] 2017학년도 연세대 수리논술

 ※ 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1] [가] 다항함수 $h ( x)$ 위의 점 $( a,~h ( a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. $$y=h ' ( a) ( x-a)+h ( a)$$ [나] 다항함수 $h ( x)$가 $h ( x)= ( x-a) ^ {n} g ( x)$ (단, $n$은 자연수이고, $g ( x)$는 다항함수이다.)로 나타내어질 때, 방정식 $h ( x)=0$는 $x=a$를 근으로 갖는다고 한다. 특히, $n \geq 2$이면 방정식 $h ( x)=0$은 $x=a$에서 중근을 갖는다고 한다.

 

[1-1] 곡선 $y=x ^ {3} +1$ 위의 점 $( 1,~2)$에서 접선의 방정식을 구하시오. [4점]

 

[1-2] 다항함수 $f ( x)$의 그래프 위의 점 $( a,~f ( a))$에서의 접선의 방정식을 $y=L ( x)$라 할 때, 방정식 $f ( x)-L ( x)=0$이 $x=a$에서 중근을 가짐을 보이시오. [8점]

 

[1-3] 다항함수 $f ( x)$의 그래프 위의 점 $( a,~f ( a))$를 지나는 직선을 $y=l ( x)$라 하자. 방정식 $f ( x)-l ( x)=0$이 $x=a$에서 중근을 가질 때, 직선 $y=l ( x)$는 곡선 $y=f ( x)$ 위의 점 $( a,f ( a))$에서의 접선임을 보이시오. [8점]

 

[제시문 2] [가] 좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$ 위의 점 $( \cos \theta ,~\sin \theta )$에서의 접선을 $l _ {\theta }$라 할 때, 집합 $A$를 $A= \left\{ l _ {\theta } |0 \leq \theta <2 \pi \right\}$라 하자. [나] 좌표평면 위의 점 $\rm P$가 집합 $A$의 원소 중 오직 $m$개의 원소와 만나도록 하는 점 $\rm P$의 집합을 $U _ {m}$이라 하자. 예를 들어, 집합 $U _ {0}$은 집합 $A$의 어떤 원소와도 만나지 않는 점의 집합이다. (단, $m$은 음이 아닌 정수이다.) [다] 좌표평면 위의 점 $( a,~b)$가 집합 $U _ {2}$의 원소일 때, 점 $( a,~b)$를 지나는 원 $C$ 위의 서로 다른 두 접선의 접점을 이은 직선을 $L ( a,~b)$라 하자.

 

[2-1] 음이 아닌 정수 $m$에 대하여 집합 $U _ {m}$을 구하시오. [10점]

[2-2] 집합 $B$를 $B= \left\{ L ( a,~b)|a ^ {2} +b ^ {2} =10 ^ {2} , ( a,~b) \in U _ {2} \right\}$라 하자. 좌표평면 위의 점 $\rm P$가 집합 $B$의 원소 중 오직 $m$개의 원소와 만나도록 하는 점 $\rm P$의 집합 $V _ {m}$을 구하시오. (단, $m$은 음이 아닌 정수이다.) [10점]

 

[제시문 3] 세 함수 $p ( x),q ( x),r ( x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $p ( x) \leq q ( x) \leq r ( x)$이고, $\lim\limits _ {x \rightarrow a} {p ( x)= \lim\limits _ {x \rightarrow a} {r ( x)= \alpha } }$이면 $\lim\limits _ {x \rightarrow a} {q ( x)} = \alpha$이다. (단, $\alpha$는 실수이다.)

 

[3-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f ( x)$가 $f ( 1)=k$이고 $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {f \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) =f ( 0)}$을 만족시킨다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $f \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) = \left ( 1- \frac {1} { ( n+1) ^ {2} } \right ) \cdot f \left ( \frac {1} {2 ^ {n-1} } \right )$일 때, $f ( 0)$의 값을 구하시오. (단, $k$는 상수이다.) [8점]

 

[3-2] 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x) \geq 0$인 함수 $g ( x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x _ {1} ,x _ {2}$에 대하여 $x _ {1} <x _ {2}$이면 $g ( x _ {1} ) \leq g ( x _ {2} )$이다.

(나) 모든 자연수 $n$에 대하여

$$g \left ( \frac{1}{2^n} \right) \leq \frac{n} {2(n+1)} \cdot g \left( \frac{1} {2^{n-1}} \right)$$

이다.

 

[3-2-1] $g ( 0)$의 값을 구하시오. [4점]

 

[3-2-2] $\lim\limits _ {m \rightarrow \infty } { \frac {g \left ( \frac {1} {m} \right ) -g ( 0)} { \frac {1} {m} } }$의 값을 구하시오. (단, $m$은 자연수이다.) [8점]