[성균관대 수리논술] 2009학년도 성균관대 과고전형 [더플러스수학]

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[성균관대 수리논술] 2009학년도 성균관대 과고전형 [더플러스수학]

[2009학년도 성균관대 면접고사]

함수 $ g~:~[a,~b] \rightarrow [a,~b] $을 닫힌 구간 $ [a,~b] $에서 연속인 함수라고 하자. 그러면 $ g ( p)=p $을 만족하는 실수 $ p \in [a,~b] $가 존재한다는 것은 잘 알려져 있다.

이 $ p $를 함수 $ g $의 부동점이라 부른다. 이 정리를 부동점 정리라고 한다.

만일 함수 $ g $가

(i) $ ( a,~b) $에서 미분가능이고,

(ii) 어떤 양의 상수 $ k<1 $가 존재하여, $ a $와 $ b $사이의 모든 실수 $ x $에 대하여

$$ |g ' ( x)| \leq k<1 $$

을 만족한다고 하자.

$ a $와 $ b $사이의 임의의 $ x _ {0} $에 대하여 다음 물음에 답하여라.

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(1) $ x _ {n} =g ( x _ {n-1} ) $, $ n=1,2,3, \cdots $에 의하여 생성되는 수열 $ \left\{ x _ {n} \right\} _ {n=0} ^ {\infty } $은 $ g $의 부동점 $ p $로 수렴함을 보여라.

(2) $$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {|x _ {n+1} -p|} {|x _ {n} -p|} = \beta } $$인 $ \beta $를 구하라.

(3) 위의 부동점 정리를 증명하시오.

 

 

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정답 및 풀이

부동점을 $ p $라 할 때, 평균값 정리를 이용하여 변형해 보자.

$$ \left | x _ {n} -p \right |  = \left | g ( x _ {n-1} )-g ( p) \right |  \\= \left | g ' ( c _ {n} ) ( x _ {n-1} -p) \right | \\ \leq  k|x _ {n-1} -p| $$

즉

$$ |x _ {n} -p| <= k|x _ {n-1} -p| $$

이다. 이를 변형하면

$$ 0 <= |x _ {n} -p| <= k ^ {n} |x _ {0} -p| $$

이다. 여기서 $ 0<k<1 $이므로

$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {k ^ {n} |x _ {0} -p|=0} $$

이다. 따라서 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {x _ {n} =p} $이다.

(2) (1)에 의해 $ n \rightarrow \infty $이면 $ x _ {n} \rightarrow p $이므로

$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty }   \frac {|x _ {n+1} -p|} {|x _ {n} -p|} =\lim\limits_{n \rightarrow \infty, x_{n} \rightarrow p} \left| \frac{g (x_n )-g(p)}{x_n -p} \right| =\left| g'(p) \right| $$ 

이다. 즉 $ \beta =|g' ( p)| $이다.