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[성균관대 수리논술] 2009학년도 성균관대 과고전형 [더플러스수학]수리논술과 심층면접 2019. 9. 16. 14:12http://tv.naver.com/v/9863952?openType=nmp
[성균관대 수리논술] 2009학년도 성균관대 과고전형 [더플러스수학]
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[2009학년도 성균관대 면접고사]
함수 g : [a, b]→[a, b]을 닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수라고 하자. 그러면 g(p)=p을 만족하는 실수 p∈[a, b]가 존재한다는 것은 잘 알려져 있다.
이 p를 함수 g의 부동점이라 부른다. 이 정리를 부동점 정리라고 한다.
만일 함수 g가
(i) (a, b)에서 미분가능이고,
(ii) 어떤 양의 상수 k<1가 존재하여, a와 b사이의 모든 실수 x에 대하여
|g′(x)|≤k<1
을 만족한다고 하자.
a와 b사이의 임의의 x0에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) xn=g(xn−1), n=1,2,3,⋯에 의하여 생성되는 수열 {xn}∞n=0은 g의 부동점 p로 수렴함을 보여라.
(2) lim인 \beta 를 구하라.
(3) 위의 부동점 정리를 증명하시오.
정답 및 풀이
부동점을 p 라 할 때, 평균값 정리를 이용하여 변형해 보자.
\left | x _ {n} -p \right | = \left | g ( x _ {n-1} )-g ( p) \right | \\= \left | g ' ( c _ {n} ) ( x _ {n-1} -p) \right | \\ \leq k|x _ {n-1} -p|
즉
|x _ {n} -p| <= k|x _ {n-1} -p|
이다. 이를 변형하면
0 <= |x _ {n} -p| <= k ^ {n} |x _ {0} -p|
이다. 여기서 0<k<1 이므로
\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {k ^ {n} |x _ {0} -p|=0}
이다. 따라서 \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {x _ {n} =p} 이다.
(2) (1)에 의해 n \rightarrow \infty 이면 x _ {n} \rightarrow p 이므로
\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \frac {|x _ {n+1} -p|} {|x _ {n} -p|} =\lim\limits_{n \rightarrow \infty, x_{n} \rightarrow p} \left| \frac{g (x_n )-g(p)}{x_n -p} \right| =\left| g'(p) \right|
이다. 즉 \beta =|g' ( p)| 이다.
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