[연세대수리논술] 2019학년도 연세대 수리논술

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[연세대수리논술] 2019학년도 연세대 수리논술

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

좌표평면 위의 두 초점 $\rm F$ $(4,~0)$, $\rm F' (-4,~0)$ 로부터 거리의 합이 $10$인 타원 $C$ 가 있다. 타원 $C$ 위의 점 $\rm P$ $(x,~y)$와 초점 $\rm F' (-4,~0)$를 지나는 직선이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각을 $\alpha$ 라 하고, 점 $\rm P$ $(x,~y)$와 초점 $\rm F$ $(4,~0)$를 지나는 직선이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각을 $\beta$ 라 하자.

 

[1-1] 타원 $C$ 의 방정식을 구하시오. [$5$점]

[1-2] $\ \cos \alpha = \frac{7}{8}$ (단, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ )일 때, 선분 $\rm PF′$의 길이를 구하시오. [$5$점]

[1-3] $\ \cos \alpha = \frac{7}{8}$ (단, $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ )일 때, $\tan \beta$의 값을 구하시오. [$5$점]

 

[제시문 2]

실수 전체의 집합에서 정의된 연속 함수 $f(x)$는 다음 세 조건을 만족시킨다. (가) $$\frac {1}{3} \leq f(x) \leq \frac{2}{3}$$ (나) $$f(x+\pi)=\frac{1+\sqrt { 6f(x) -9\left\{ f(x) \right \}^2 }}{3}$$ (다) $$\int_{-\pi}^{\pi} \left \{ 3f(x)-1 \right \}dx= \pi$$

 

[2] $$\int _{2019 \pi } ^{2023 \pi }  f(x)dx$$ 의 값을 구하시오.[15점]

** 참고 문제 오류임이 밝혀져 모두 정답처리됨.

 

[제시문 3]

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자연수 $1$부터 $35 ^ {2}$($=1225$)가지의 숫자가 다음과 같이 나열되어 있다.

위와 같이 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로의 대각선 방향으로 순서를 정하여 $n$번재 숫자를 $f ( n)$ ($n=1,2,3, \cdots ,1225$)으로 정의한다.

예) $f ( 1)=1$, $f ( 2)=36$, $f ( 3)=2$, $f ( 4)=71$, $f ( 5)=37$, $f ( 6)=3$, $\cdots$

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[3-1] $f ( 300)$의 값을 구하시오.[5점]

[3-2] $f ( n)=n$을 만족시키는 모든 $n$의 값을 구하시오. [10점]

 

[제시문 4]

농구 선수 세 명이 있다. 슛을 성공할 확률이 $\frac {8} {10}$인선수가 두명, 슛을 성공할 확률이 $\frac {9} {10}$인 선수가 한 명 있다. 세 선수가 임의의 순서로 슛을 한 번씩 시도했을 때, 첫 번째 선수와 두 번째 선수는 성공했으나 세 번째 선수는 성공하지 못했다. (단, 각각의 선수가 슛을 성공할 확률은 항상 일정하고, 슛을 성공하는 사건은 서로 독립이다.)

[4-1] 위와 같은 결과가 나올 확률을 구하시오. [10점]

[4-2] 세 번째 선수가 슛 성공확률 $\frac {9} {10}$인 선수일 확률을 구하시오. [5점]