[2019학년도 모평 나형] 2019학년도 나형 6월 21번

상수 $a,~b$에 대하여 삼차함수 $f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx$가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) $f ( -1)>-1$

(나) $f ( 1)-f ( -1)>8$

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<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][2018년 6월 21]

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ㄱ. 방정식 $f ' ( x)=0$은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ. $-1<x<1$일 때, $f ' ( x) \geq 0$이다.

ㄷ. 방정식 $f ( x)-f ' ( k)x=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$의 개수는 $4$이다.

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① ㄱ                ② ㄱ, ㄴ           ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ     

 

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[2019모평 나형 6월21번]2019학년도 나형 평가원 6월 21번[더플러스수학]

 

 

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정답  ③

(가) 조건에 의해

$f ( -1)=-1+a-b \geq 1$

$\therefore ~a>b$ $\cdots\cdots$ ㉠

(나) 조건에 의해

$\begin{align} f ( 1)-f ( -1) &=1+a+b- ( -1+a-b)\\&=2+2b>8 \end{align}$

$\therefore ~b>3$  $\cdots\cdots$ ㉡

ㄱ. $f ' ( x)=3x ^ {2} +2ax+b$

㉠, ㉡에 의해

$a>b~ \Rightarrow ~a ^ {2} >ab>3b$ ($\because ~a>b>3$)

따라서

$D/4=a ^ {2} -3b>0$ (참)

 

ㄴ. $f ' ( -1)=3-2a+b=3-a+b-a$이고

$3-a<0$, $b-a<0$이므로

$\therefore ~f ' ( -1)<0$

$f ' ( 1)=3+2a+b>0$

사잇값 정리에 의해 $f ' ( x)$는 $( -1,~0)$에서 근을 가진다.

$f ' ( \alpha )=0$이라 하면 $x$가 $( -1,~ \alpha )$에서 $f ' ( \alpha )<0$이다 (거짓)

 

ㄷ. $f ( x)=f ' ( k)x$라 하면 $f ' ( k)x$는 $( 0,~0)$을 지나는 직선이다.

삼차함수 $f ( x)$와 직선이 $2$개의 교점을 가지려면 직선은 $f ( x)$의 접선이어야한다.

ㄱ에 의해 $f ' ( x)$는 두 근을 갖고

따라서 $( 0,~0)$에서 $f ( x)$에 그은 접선은 $l _ {1}$, $l _ {2}$ 두 개다.

ⅰ) $l _ {1}$인 경우

$f ' ( k)=f ' ( 0)$이므로 위 그림에서

$k=0,~k _ {1}$

ⅱ) $l _ {2}$인 경우

$( 0,~0)$에서 $f ( x)$에 그은 접선의 접점을 $k _ {2}$라 할 때 $f ' ( k)=f ' ( k _ {2} )$이므로

$k=k _ {2} ,~k _ {3}$

따라서 $k$의 개수는 $4$개다.