[2019학년도 모평 나형] 2019학년도 나형 6월 21번

상수 $ a,~b $에 대하여 삼차함수 $ f ( x)=x ^ {3} +ax ^ {2} +bx $가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) $ f ( -1)>-1 $

(나) $ f ( 1)-f ( -1)>8 $

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<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][2018년 6월 21]

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ㄱ. 방정식 $ f ' ( x)=0 $은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ. $ -1<x<1 $일 때, $ f ' ( x) \geq 0 $이다.

ㄷ. 방정식 $ f ( x)-f ' ( k)x=0 $의 서로 다른 실근의 개수가 $ 2 $가 되도록 하는 모든 실수 $ k $의 개수는 $ 4 $이다.

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① ㄱ                ② ㄱ, ㄴ           ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ     

 

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[2019모평 나형 6월21번]2019학년도 나형 평가원 6월 21번[더플러스수학]

 

 

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정답  ③

(가) 조건에 의해

$ f ( -1)=-1+a-b \geq 1 $

$ \therefore ~a>b $ $\cdots\cdots$ ㉠

(나) 조건에 의해

$\begin{align} f ( 1)-f ( -1) &=1+a+b- ( -1+a-b)\\&=2+2b>8 \end{align} $

$ \therefore ~b>3 $  $\cdots\cdots$ ㉡

ㄱ. $ f ' ( x)=3x ^ {2} +2ax+b $

㉠, ㉡에 의해

$ a>b~ \Rightarrow ~a ^ {2} >ab>3b $ ($ \because ~a>b>3 $)

따라서

$ D/4=a ^ {2} -3b>0 $ (참)

 

ㄴ. $ f ' ( -1)=3-2a+b=3-a+b-a $이고

$ 3-a<0 $, $ b-a<0 $이므로

$ \therefore ~f ' ( -1)<0 $

$ f ' ( 1)=3+2a+b>0 $

사잇값 정리에 의해 $ f ' ( x) $는 $ ( -1,~0) $에서 근을 가진다.

$ f ' ( \alpha )=0 $이라 하면 $ x $가 $ ( -1,~ \alpha ) $에서 $ f ' ( \alpha )<0 $이다 (거짓)

 

ㄷ. $ f ( x)=f ' ( k)x $라 하면 $ f ' ( k)x $는 $ ( 0,~0) $을 지나는 직선이다.

삼차함수 $ f ( x) $와 직선이 $ 2 $개의 교점을 가지려면 직선은 $ f ( x) $의 접선이어야한다.

ㄱ에 의해 $ f ' ( x) $는 두 근을 갖고

따라서 $ ( 0,~0) $에서 $ f ( x) $에 그은 접선은 $ l _ {1} $, $ l _ {2} $ 두 개다.

ⅰ) $ l _ {1} $인 경우

$ f ' ( k)=f ' ( 0) $이므로 위 그림에서

$ k=0,~k _ {1} $

ⅱ) $ l _ {2} $인 경우

$ ( 0,~0) $에서 $ f ( x) $에 그은 접선의 접점을 $ k _ {2} $라 할 때 $ f ' ( k)=f ' ( k _ {2} ) $이므로

$ k=k _ {2} ,~k _ {3} $

따라서 $ k $의 개수는 $ 4 $개다.