[2020 나형 모평 9월30번] 2020학년도 나형 평가원 9월 30번

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[2020 나형 모평 9월30번] 2020학년도 나형 평가원 9월 30번

최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f \left ( x \right )$에 대하여 네 개의 수 $f \left ( -1 \right )$, $f \left ( 0 \right )$, $f \left ( 1 \right )$, $f \left ( 2 \right )$가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 곡선 $y=f \left ( x \right )$위의 점 $\left ( -1,~f \left ( -1 \right ) \right )$에서의 접선과 점 $\left ( 2,~f \left ( 2 \right ) \right )$에서의 접선이 점 $\left ( k,~0 \right )$에서 만난다. $f \left ( 2k \right ) =20$일 때, $f \left ( 4k \right )$의 값을 구하시오. (단, $k$는 상수이다.) [$4$점]

 

 

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정답 $42$

문제해설

사차함수 $f ( x)$에 대하여 네 수 $f ( -1)$, $f ( 0)$, $f ( 1)$, $f ( 2)$가 이 순서대로 등차수열을 이루면 네 점 $( -1,~f ( -1))$, $( 0,~f ( 0))$, $( 1,~f ( 1))$, $( 2,~f ( 2))$ 은 일직선 위에 존재한다.

$$\frac {f ( 0)-f ( -1)} {0- ( -1)}  =  \frac {f ( 1)-f ( 0)} {1-0} = \frac {f ( 2)-f ( 1)} {2-1}$$

$f ( x)- ( ax+b)=x ( x+1) ( x-1) ( x-2)$

$f \left ( x \right )$$=x ( x+1) ( x-1) ( x-2)+ax+b$$=x ^ {4} -2x ^ {3} -x ^ {2} +2x+ax+b$

$f ' ( x)=4x ^ {3} -6x ^ {2} -2x+2+a$

점 $( -1,~f ( -1))$에서의 접선의 방정식 $f ' ( -1)=a-6$, $f ( -1)=-a+b$이므로

$y$$= ( a-6) ( x+1)-a+b$$= ( a-6)x+b-6$ $\cdots \cdots$ ㉠

점 $( 2,~f ( 2))$에서의 접선의 방정식 $f ' ( 2)=a+6$, $f ( 2)=2a+b$이므로

$y$$= ( a+6) ( x-2)+2a+b$$= ( a+6)x+b-12$ $\cdots \cdots$ ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

$( a-6)x-6+b$$= ( a+6)x+b-12$

$-12x=-6$ → $x= \frac {1} {2}$

따라서 $k= \frac {1} {2}$

두 접선의 방정식이 점 $\left ( \frac {1} {2} ,~0 \right )$을 지나므로 점 $\left ( \frac {1} {2} ,~0 \right )$을 접선의 방정식에 대입하면

$\frac {1} {2} a-9+b=0$ → $a+2b=18$

$f ( 2k)=f ( 1)=a+b=20$

연립하면, $a=22$, $b=-2$이다.

따라서 $f ( 4k)=f ( 2)=2a+b=44-2=42$

 

다른풀이

사차함수를 $f \left ( x \right ) =x ^ {4} +ax ^ {3} +bx ^ {2} +cx+d$ 라 하면

$f \left ( -1 \right ) =1-a+b-c+d$

$f \left ( 0 \right ) =d$

$f \left ( 1 \right ) =1+a+b+c+d$

$f \left ( 2 \right ) =16+8a+4b+2c+d$

위 네 수가 등차수열을 이루므로

$$f \left ( 0 \right ) -f \left ( -1 \right ) =f \left ( 1 \right ) -f \left ( 0 \right ) =f \left ( 2 \right ) -f \left ( 1 \right )$$

$$-1+a-b+c=1+a+b+c=15+7a+3b+c$$

연립하면 $a=-2,~b=-1$

$\therefore$ $f \left ( x \right ) =x ^ {4} -2x ^ {3} -x ^ {2} +cx+d$, $f ' \left ( x \right ) =4x ^ {3} -6x ^ {2} -2x+c$

$f \left ( -1 \right ) =2-c+d,~f \left ( 2 \right ) =-4+2c+d$

$f ' \left ( -1 \right ) =c-8,~f ' \left ( 2 \right ) =c+4$

이므로

$\left ( -1,~f \left ( -1 \right ) \right )$에서의 접선의 식과 $x$절편은

$y- \left ( 2-c+d \right ) = \left ( c-8 \right ) \left ( x+1 \right )$

$y=0$일 때 $x= \frac {6-d} {c-8} =k$ $\cdots \cdots$ ㉠

$\left ( 2,~f \left ( 2 \right ) \right )$에서의 접선의 식과 $x$절편은

$y- \left ( -4+2c+d \right ) = \left ( c+4 \right ) \left ( x-2 \right )$,

$y=0$일 때 $x= \frac {12-d} {c+4} =k$ $\cdots \cdots$ ㉡

㉠ 에서 $6-d=ck-8k$ $\cdots \cdots$ ㉢

㉡ 에서 $12-d=ck+4k$ $\cdots \cdots$ ㉣

㉢$-$㉣에서 $-6=-12k,~k= \frac {1} {2}$

㉢에 대입하면 $c=20-2d$

따라서 사차함수 $f \left ( x \right ) =x ^ {4} -2x ^ {3} -x ^ {2} + \left ( 20-2d \right ) x+d$ 이고

$f \left ( 2k \right ) =f \left ( 1 \right ) =18-d=20$에서 $d=-2$

$f \left ( 4k \right ) =f \left ( 2 \right ) =16-16-4+40-3d=36-3 \times \left ( -2 \right ) =42$