[사관학교 기출] 2018학년도 나형 21번

자연수 $ n $에 대하여 함수 $ f ( x) $를 $ f ( x)=x ^ {2} + \frac {1} {n} $이라 하고 함수 $ g ( x) $를

$ g ( x)=  \begin {cases} ( x-1)f ( x) & & ( x \geq 1)  \\ ( x-1) ^ {2} f ( x)  & & ( x<1)  \end {cases}  $

이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][2018년 사관학교 나21]

<보기>

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ㄱ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow 1-} { \frac {g ( x)} {x-1} =0} $

ㄴ. $ n=1 $일 때, 함수 $ g ( x) $는 $ x=1 $에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 $ g ( x) $가 극대 또는 극소가 되는 $ x $의 개수가 $ 1 $인 $ n $의 개수는 $ 5 $이다.

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① ㄱ                     ② ㄱ, ㄴ                ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ                 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ     

 

 

 

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정답 ②

ㄱ. $ \lim\limits _ {x \rightarrow 1-} {} \frac {g ( x)} {x-1} = \lim\limits _ {x \rightarrow 1-} {} ( x-1)f ( x)=0 $

ㄴ. $ n=1 $ 이면 $ f ( x)=x ^ {2} +1 $이므로

$$ g ( x)= { \begin {cases} ( x-1) ( x ^ {2} +1)~~ & ( x \geq 1)\\ ( x-1) ^ {2} ( x ^ {2} +1)~~ & ( x<1)\end {cases} } $$

인데, $ g ( x) \geq 0=g ( 1) $이므로 함수 $ g ( x) $는 $ x=1 $에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. $ x>1 $에서는 $ g ( x)= ( x-1) \left ( x ^ {2} + \frac {1} {n} \right ) $은 증가함수이므로 극점은 없다.

$ x<1 $ 일 때는 $ g ( x)= ( x-1) ^ {2} \left ( x ^ {2} + \frac {1} {n} \right ) $ 에서

$ g ' ( x) =2 ( x-1) \left ( x ^ {2} + \frac {1} {n} \right ) +2x ( x-1) ^ {2} $

 $=2 ( x-1) \left ( 2x ^ {2} -x+ \frac {1} {n} \right ) $

$ x<1 $인 모든 $ x $에 대하여 $ 2x ^ {2} -x+ \frac {1} {n} $$ \geq 0 $이면 극점은 없다.

$ 2x ^ {2} -x+ \frac {1} {n}  =2 \left ( x- \frac {1} {4} \right ) ^ {2} + \frac {1} {n} - \frac {1} {8} \geq 0 $

따라서 $ n \leq 8 $이므로, 함수 $ g ( x) $의 극점이 $ x=1 $일 때 한 개뿐인 경우 자연수 $ n $의 개수는 8이다.