[사관학교 기출] 2018학년도 나형 21번

자연수 $n$에 대하여 함수 $f ( x)$를 $f ( x)=x ^ {2} + \frac {1} {n}$이라 하고 함수 $g ( x)$를

$g ( x)=  \begin {cases} ( x-1)f ( x) & & ( x \geq 1)  \\ ( x-1) ^ {2} f ( x)  & & ( x<1)  \end {cases}$

이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][2018년 사관학교 나21]

<보기>

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ㄱ. $\lim\limits _ {x \rightarrow 1-} { \frac {g ( x)} {x-1} =0}$

ㄴ. $n=1$일 때, 함수 $g ( x)$는 $x=1$에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 $g ( x)$가 극대 또는 극소가 되는 $x$의 개수가 $1$인 $n$의 개수는 $5$이다.

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① ㄱ                     ② ㄱ, ㄴ                ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ                 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ     

 

 

 

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정답 ②

ㄱ. $\lim\limits _ {x \rightarrow 1-} {} \frac {g ( x)} {x-1} = \lim\limits _ {x \rightarrow 1-} {} ( x-1)f ( x)=0$

ㄴ. $n=1$ 이면 $f ( x)=x ^ {2} +1$이므로

$$g ( x)= { \begin {cases} ( x-1) ( x ^ {2} +1)~~ & ( x \geq 1)\\ ( x-1) ^ {2} ( x ^ {2} +1)~~ & ( x<1)\end {cases} }$$

인데, $g ( x) \geq 0=g ( 1)$이므로 함수 $g ( x)$는 $x=1$에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. $x>1$에서는 $g ( x)= ( x-1) \left ( x ^ {2} + \frac {1} {n} \right )$은 증가함수이므로 극점은 없다.

$x<1$ 일 때는 $g ( x)= ( x-1) ^ {2} \left ( x ^ {2} + \frac {1} {n} \right )$ 에서

$g ' ( x) =2 ( x-1) \left ( x ^ {2} + \frac {1} {n} \right ) +2x ( x-1) ^ {2}$

 $=2 ( x-1) \left ( 2x ^ {2} -x+ \frac {1} {n} \right )$

$x<1$인 모든 $x$에 대하여 $2x ^ {2} -x+ \frac {1} {n}$$\geq 0$이면 극점은 없다.

$2x ^ {2} -x+ \frac {1} {n}  =2 \left ( x- \frac {1} {4} \right ) ^ {2} + \frac {1} {n} - \frac {1} {8} \geq 0$

따라서 $n \leq 8$이므로, 함수 $g ( x)$의 극점이 $x=1$일 때 한 개뿐인 경우 자연수 $n$의 개수는 8이다.