[2019학년도 나형 6월30번] 평가원 나형 6월30번

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[평가원기출] 2019학년도 나형 6월 30번

 

사차함수 $ f ( x) $가 다음 조건을 만족한다.

(가) $ 5 $이하의 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ \sum\limits _ {k=1} ^ {n} f ( k)=f ( n)f ( n+1) $ 이다. (나) $ n=3,~4, $일 때, $ f ( x) $에서 $ x $의 값이 $ n $에서  $ n+2 $까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다.

 

$ 128 \times f \left ( \frac {5} {2} \right ) $의 값을 구하시오. [4점][2018년 6월 30]

 

 

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정답 65

조건 (가)에 의해

$ f ( 1)+ \cdots +f ( n-1)+f ( n)=f ( n)f ( n+1)$ $\cdots$ ①

$ f ( 1)+ \cdots +f ( n-1)=f ( n-1)f ( n)$ $\cdots$ ②

①-② 를 하면

$ f ( n)=f ( n) \left\{ f ( n+1)-f ( n-1) \right\} $이다.

따라서 $ f ( n)=0 $ 또는 $ f ( n+1)-f ( n-1)=1 $$ ~ \cdots ( * ) $이어야 한다.

조건 (나)에 의해

$ n=3 $일 때 $ \frac {f ( 5)-f ( 3)} {5-3} \leq 0 $에서 $ f ( 5) \leq f ( 3) $

$ n=4 $일 때 $ \frac {f ( 6)-f ( 4)} {6-4} \leq 0 $에서 $ f ( 6) \leq f ( 4) $

이므로 $ ( * ) $에 의해 $ f ( 4)=0,~f ( 5)=0 $이 된다.

조건 (가)에 $ n=1,~2,~3 $을 각각 대입하여 정리하면

$ n=1 $일 때 $ f ( 1)=f ( 1)f ( 2) $

$ n=2 $일 때 $ f ( 1)+f ( 2)=f ( 2)f ( 3) $

$ n=3 $일 때 $ f ( 1)+f ( 2)+f ( 3)=0~ ( \because ~f ( 4)=0) $

(ⅰ) $ f ( 3)=0 $인 경우

$ f ( 1)+f ( 2)=0 $에서 $ f ( 1)=   - \left\{ f ( 1) \right\} ^ {2} $이므로

$ f ( 1)=0 $ 또는 $ f ( 1)=  -1 $이다.

$ f ( 1)=0 $이면 $ f ( 2)=f ( 3)=f ( 4)=f ( 5)=0 $이 되어

사차함수라는 조건에 위배된다.

따라서 $ f ( 1)=   -1,~f ( 2)=1,~f ( 3)=f ( 4)=f ( 5)=0 $ $\cdots\cdots$ ③  

이 성립한다.

그래프를 그려보면 사잇값 정리에 의해 $ ( 1,~2) $에서 근을 갖고

$ f ( 6)-f ( 4) \leq 0 $을 만족한다.

그래프를 그려보면 사잇값 정리에 의해 $ ( 1,~2) $에서 근을 갖고

$ f ( 6)-f ( 4) \leq 0 $을 만족한다.

(ⅱ) $ f ( 3) \neq 0 $인 경우

$ f ( 1)+f ( 2)=  -f ( 2) \left\{ f ( 1)+f ( 2) \right\} $에서 $ f ( 2)=   -1 $이므로

$ f ( 1)=0 $이 된다.

따라서 $ f ( 1)=0,~f ( 2)=   -1,~f ( 3)=1,~f ( 4)=f ( 5)=0 $이 성립한다.

그래프를 그려보면 $ f ( 6)-f ( 4) \leq 0 $을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 $ f ( x)= ( ax+b) ( x-3) ( x-4) ( x-5) $이 된다.

③을 대입하면

$ f ( 1)=   -24 ( a+b)=   -1,~f ( 2)=  -6 ( 2a+b)=1 $에서

$ a=  - \frac {5} {24} ,~b= \frac {6} {24} $을 얻는다.

$ \therefore ~f ( x)=  - \frac {1} {24} ( 5x-6) ( x-3) ( x-4) ( x-5) $

$ 128 \times f \left ( \frac {5} {2} \right ) =2 ^ {7} \times \left ( - \frac {1} {24} \right ) \left ( - \frac {1} {2} \right ) \left ( - \frac {3} {2} \right ) \left ( - \frac {5} {2} \right ) \left ( \frac {25} {2} -6 \right ) =65 $