[2019학년도 나형 6월30번] 평가원 나형 6월30번

https://tv.naver.com/v/10321434

[평가원기출] 2019학년도 나형 6월 30번

 

사차함수 $f ( x)$가 다음 조건을 만족한다.

(가) $5$이하의 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum\limits _ {k=1} ^ {n} f ( k)=f ( n)f ( n+1)$ 이다. (나) $n=3,~4,$일 때, $f ( x)$에서 $x$의 값이 $n$에서  $n+2$까지 변할 때의 평균변화율은 양수가 아니다.

 

$128 \times f \left ( \frac {5} {2} \right )$의 값을 구하시오. [4점][2018년 6월 30]

 

 

---

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 65

조건 (가)에 의해

$f ( 1)+ \cdots +f ( n-1)+f ( n)=f ( n)f ( n+1)$ $\cdots$ ①

$f ( 1)+ \cdots +f ( n-1)=f ( n-1)f ( n)$ $\cdots$ ②

①-② 를 하면

$f ( n)=f ( n) \left\{ f ( n+1)-f ( n-1) \right\}$이다.

따라서 $f ( n)=0$ 또는 $f ( n+1)-f ( n-1)=1$$~ \cdots ( * )$이어야 한다.

조건 (나)에 의해

$n=3$일 때 $\frac {f ( 5)-f ( 3)} {5-3} \leq 0$에서 $f ( 5) \leq f ( 3)$

$n=4$일 때 $\frac {f ( 6)-f ( 4)} {6-4} \leq 0$에서 $f ( 6) \leq f ( 4)$

이므로 $( * )$에 의해 $f ( 4)=0,~f ( 5)=0$이 된다.

조건 (가)에 $n=1,~2,~3$을 각각 대입하여 정리하면

$n=1$일 때 $f ( 1)=f ( 1)f ( 2)$

$n=2$일 때 $f ( 1)+f ( 2)=f ( 2)f ( 3)$

$n=3$일 때 $f ( 1)+f ( 2)+f ( 3)=0~ ( \because ~f ( 4)=0)$

(ⅰ) $f ( 3)=0$인 경우

$f ( 1)+f ( 2)=0$에서 $f ( 1)=   - \left\{ f ( 1) \right\} ^ {2}$이므로

$f ( 1)=0$ 또는 $f ( 1)=  -1$이다.

$f ( 1)=0$이면 $f ( 2)=f ( 3)=f ( 4)=f ( 5)=0$이 되어

사차함수라는 조건에 위배된다.

따라서 $f ( 1)=   -1,~f ( 2)=1,~f ( 3)=f ( 4)=f ( 5)=0$ $\cdots\cdots$ ③  

이 성립한다.

그래프를 그려보면 사잇값 정리에 의해 $( 1,~2)$에서 근을 갖고

$f ( 6)-f ( 4) \leq 0$을 만족한다.

그래프를 그려보면 사잇값 정리에 의해 $( 1,~2)$에서 근을 갖고

$f ( 6)-f ( 4) \leq 0$을 만족한다.

(ⅱ) $f ( 3) \neq 0$인 경우

$f ( 1)+f ( 2)=  -f ( 2) \left\{ f ( 1)+f ( 2) \right\}$에서 $f ( 2)=   -1$이므로

$f ( 1)=0$이 된다.

따라서 $f ( 1)=0,~f ( 2)=   -1,~f ( 3)=1,~f ( 4)=f ( 5)=0$이 성립한다.

그래프를 그려보면 $f ( 6)-f ( 4) \leq 0$을 만족하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 $f ( x)= ( ax+b) ( x-3) ( x-4) ( x-5)$이 된다.

③을 대입하면

$f ( 1)=   -24 ( a+b)=   -1,~f ( 2)=  -6 ( 2a+b)=1$에서

$a=  - \frac {5} {24} ,~b= \frac {6} {24}$을 얻는다.

$\therefore ~f ( x)=  - \frac {1} {24} ( 5x-6) ( x-3) ( x-4) ( x-5)$

$128 \times f \left ( \frac {5} {2} \right ) =2 ^ {7} \times \left ( - \frac {1} {24} \right ) \left ( - \frac {1} {2} \right ) \left ( - \frac {3} {2} \right ) \left ( - \frac {5} {2} \right ) \left ( \frac {25} {2} -6 \right ) =65$