[옥동수학학원] 2018년10월 나형 30번 킬러문항 [더플러스수학학원]

울산 옥동수학학원 더플러스수학학원에서 2018년 10월 교육청모의고사 나형 30번 킬러문항에 대한 풀이를 해 봤습니다. 평면 위의 점에서 3차함수에 그은 접선의 갯수에 대한 다음의 링크를 먼저 참조하면 좀 더 쉽게 접근할 수 있습니다.

2021.08.10 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 3차함수의 접선의 갯수

다음에 문제와 풀이영상이 있습니다.

https://youtu.be/_jb9KvBbMSc(구독과 좋아요를..)

 

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $\displaystyle  f \left ( x \right )$와 실수 $t$가 다음 조건을 만족시킨다.

등식 $\displaystyle  f \left ( a \right )$$+1=f ' \left ( a \right ) \left ( a-t \right )$를 만족시키는 실수 $\displaystyle  a$의 값이 $\displaystyle  6$ 하나뿐이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle  -2<t<k$ 이다.

 

$\displaystyle  f \left ( 8 \right )$의 값을 구하시오. (단, $k$는 $-2$보다 큰 상수이다.) [4점]

 

---

[정답] 39

[출제의도] 다항함수의 미분을 활용하여 조건을 만족시키는 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.

등식 $f \left ( a \right ) +1=f ' ( a) \left ( a-t \right )$ …… ㉠

에서 $-1=f ' \left ( a \right ) \left ( t-a \right ) +f \left ( a \right )$이다.

이는 곡선 $y=f \left ( x \right )$ 위의 점 $\left ( a,f \left ( a \right ) \right )$에서의 접선 $y=f ' \left ( a \right ) \left ( x-a \right ) +f \left ( a \right )$가 점 $\rm P$$\left ( t,~-1 \right )$을 지남을 뜻한다.

즉 $\rm P$$\left ( t,~-1 \right )$에서 곡선 $y=f ( x)$에 그은 접선의 접점이 $\left ( a,~f \left ( a \right ) \right )$이다.

조건에서 등식 ㉠을 만족시키는 실수 $a$의 값이 $6$ 하나뿐이므로

$f ( 6)+1=f ' ( 6) ( 6-t)$ …… ㉡

$-2<t<k$인 모든 실수 $t$에 대하여 ㉡이 성립하므로

$f ' ( 6)=0$, $f ( 6)=  -1$

즉 함수 $y=f ( x)$의 그래프는 점 $\mathrm A \left ( 6,~-1 \right )$에서 직선 $y=  -1$에 접하므로

$f ( x)= \left ( x-6 \right ) ^ {2} ( x-m)-1$($m$은 상수) …… ㉢

따라서 두 점 $\rm P$ $\left ( t,~-1 \right )$, $\mathrm A$ $t \left ( 6,~-1 \right )$에 대하여 ㉢을 만족시키는 삼차함수 $y=f ( x)$의 그래프는 다음과 같이 $3$가지이다.

 

그림1 $m=6$ 일 때

그림2 $m>6$일 때

그림3 $\displaystyle m<6$ 일 때

 

[그림1], [그림2]에서는 $6$보다 작은 모든 실수 $t$에 대하여 등식 ㉠을 만족시키는 $6$이 아닌 실수 $a$가 존재하므로 조건을 만족시키지 않는다.

[그림3]에서 $k>  -2$인 상수 $k$에 대하여 등식 ㉠을 만족시키는 실수 $a$의 값이 $6$ 하나뿐이기 위한 필요충분조건이 $-2<t<k$이려면 함수 $y=f ( x)$의 그래프가 점 $\left ( -2,~-1 \right )$을 지나야 한다. 즉, $m=  -2$

$f \left ( x \right ) = \left ( x-6 \right ) ^ {2} \left ( x+2 \right ) -1$이므로

$f ( 8)= \left ( 8-6 \right ) ^ {2} \left ( 8+2 \right ) -1  =39$

[참고]

$f ( x)= ( x-6) ^ {2} ( x-m)-1$에서

$f ' ( x)=2 ( x-6) ( x-m)+ ( x-6) ^ {2} = ( x-6) ( 3x-2m-6)$

이므로 등식 $f ( a)+1=f ' ( a) ( a-t)$에서

$( a-6) ^ {2} ( a-m)= ( a-6) ( 3a-2m-6) ( a-t)$

$( a-6) \left\{ 2a ^ {2} - ( 3t+m)a+2mt+6t-6m \right\} =0$

$a=6$ 또는 $2a ^ {2} - ( 3t+m)a+2mt+6t-6m=0$ …… ㉠

이 등식을 만족시키는 실수 $a$의 값이 $6$ 하나뿐이려면 $a$에 대한 이차방정식 ㉠이 중근 $6$을 가지거나 실근을 갖지 않아야 한다.

(ⅰ) ㉠이 중근 $6$을 가지는 경우$2a ^ {2} - ( 3t+m)a+2mt+6t-6m=2 \left ( a-6 \right ) ^ {2}$에서 $t=6$, $m=6$따라서 조건을 만족시키는 실수 $t$는 $6$ 하나뿐이므로 $-2<t<k$라는 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) ㉠이 실근을 갖지 않는 경우㉠의 판별식을 $D$라 하면

$D  = ( 3t+m) ^ {2} -8 ( 2mt+6t-6m)$$= ( t-m) ( 9t-m-48)<0$ …… ㉡

① $m< \frac {m+48} {9}$, 즉 $m<6$이면 부등식 ㉡의 해는 $m<t< \frac {m+48} {9}$이때 실수 $t$의 범위가 $-2<t<k$이어야 하므로$m= \it -2$, $k= \frac {46} {9}$② $m> \frac {m+48} {9}$, 즉 $m>6$이면 부등식 ㉡의 해는 $\frac {m+48} {9} <t<m$ 이때 $\frac {m+48} {9} >6$이므로 조건을 만족시키지 않는다.

위의 (ⅰ), (ⅱ)에서 $m=  -2$, $k= \frac {46} {9}$이므로

$f ( x)= ( x-6) ^ {2} ( x+2)-1$

 

울산 옥동에 있는 울산과고전문 더플러스수학학원

https://naver.me/xb76xao4