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[킬러문항 21번] 2012년 가형 4월 교육청 21번 [더플러스수학]수능 모의고사 2019. 9. 23. 14:18
https://tv.kakao.com/v/401140813
함수 f(x)=ln(2x2+1)에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] [2012년 4월]
ㄱ. 모든 실수 x에 대하여 f′(−x)=−f′(x)이다.
ㄴ. f(x)의 도함수 f′(x)의 최댓값은 √2이다.
ㄷ. 임의의 두 실수 x1, x2에 대하여 |f(x1)−f(x2)|≤√2|x1−x2|이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
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더보기정답 및 풀이
ㄱ. f′(x)=4x2x2+1이므로 f′(−x)=−f′(x) (참)
ㄴ. f″(x)=4(2x2+1)−4x⋅4x(2x2+1)2=4(1−2x2)(2x2+1)2
f″(x)=0에서 x=−1√2 또는 x=1√2
x⋯−1√2⋯1√2⋯f′(x)−0+0−f(x)↗−√2↘√2↗
limx→−∞f′(x)=limx→∞f′(x)=0이므로 y=f′(x)의 그래프는 그림과 같다.
따라서 함수 f′(x)의 최댓값은 √2이다. (참)
ㄷ. ⅰ) x1=x2일 때, 주어진 부등식은 성립한다.
ⅱ)x1≠x2일 때, 닫힌 구간 [x1, x2]에서 평균값의 정리에 의하여 f(x1)−f(x2)x1−x2=f′(c)인 c가 열린 구간 (x1, x2)에서 적어도 하나 존재한다.
ㄱ, ㄴ에 의하여 −√2≤f′(x)≤√2이므로
|f(x1)−f(x2)x1−x2|=|f′(c)|≤√2이다.
∴ ⅰ), ⅱ)에 의하여 임의의 두 실수 x _ {1} ,~x _ {2} 에 대하여 \left | f \left ( x _ {1} \right ) -f \left ( x _ {2} \right ) \right | \leq \sqrt {2} \left | x _ {1} -x _ {2} \right | (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ
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