[시립대 논술] 2010학년도 서울시립대 논술

[2010학년도 서울시립대 논술]

반지름의 길이가 1인 원에 내접하는 정$ n $각형이 있다. 이 정$ n $각형을 둘레의 길이와 같은 길이의 실로 한 바퀴 감았다. 이 때, 실의 한 쪽 끝은 한 꼭짓점에 고정이 되어 있다. 정$ n $각형과 같은 평면 위에서 실을 팽팽한 상태로 유지하면서 실 전체가 최초로 직선이 되는 순간까지 풀었을 때, 실의 다른 끝점이 움직인 거리를 $ L _ {n} $이라고 하자.

(a) 아래 그림은 정사각형의 경우를 보여준다. $ L _ {4} $를 구하여라.

(b) $ L _ {n} $을 구하여라.

(c) 정$ n $각형을 반지름의 길이가 1인 원으로 바꾸었을 때, 실의 끝점이 만드는 곡선의 길이를 구하여라.

 

 연결문제

신개선(involute)

늘어나거나 줄지 않는 길이 $ 2 \pi $인 실의 한 끝을 원점 $ Q ( 0,~0) $에 고정하고,

다른 쪽의 끝 $ P $를 점 $ A ( 2 \pi ,~0) $ 위에 놓은 후 실을 느슨해지지 않도록 끝 $ P $를 이동시키면서 $ x ^ {2} + ( y-1) ^ {2} =1 $의 원 위를 시계반대방향으로 감아 나간다. (즉, 실을 원의 접선 방향으로 잡아당기고 있다.) 원의 중심을 $ B $라 하고 원 위의 점 $ Q $까지 감았을 때, $ \angle OBQ= \theta $($ 0 \leq \theta \leq 2 \pi $)로 둔다.

다음 물음에 답하여라.

(1) $ P,~Q $의 좌표를 $ \theta $를 사용하여 나타내어라.

(2) $ P $가 그리는 곡선의 길이를 구하여라.

 

https://tv.naver.com/v/9942111

[시립대수리논술] 2010학년도 서울시립대 수리논술 [더플러스수학]

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정답 (a) $ 3 \sqrt {2} \pi $ (b) $ 2 ( n-1) \pi \sin \frac {\pi } {n} $ (c) $ 2 \pi ^ {2} $

연결문제 정답 및 풀이

(1) 호 $ {OQ} = \theta $이므로 $ \overline {QP} =2 \pi - \theta $이다. $ \overrightarrow {QP} $와 $ x $축의 양의 방향과 이루는 각은 $ \theta $이므로

$$ \overrightarrow {QP} = ( 2 \pi - \theta ) ( \cos \theta ,\sin \theta ) $$

이다. 또,

$$ \overrightarrow {BQ} = \left ( \cos \left ( \frac {3 \pi } {2} + \theta \right ) ,\sin \left ( \frac {3 \pi } {2} + \theta \right ) \right ) = ( -\sin \theta ,-\cos \theta ) $$

이다. $ \overrightarrow {OQ} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {BQ} = ( -\sin \theta ,1-\cos \theta ) $이고

$ \overrightarrow {OP} = \overrightarrow {OQ} + \overrightarrow {QP} = ( ( 2 \pi - \theta )\cos \theta -\sin \theta , ( 2 \pi - \theta )\sin \theta +1-\cos \theta ) $

이다.

(2) $$ \frac {dx} {d \theta } =\cos \theta -\cos \theta - ( 2 \pi - \theta )\sin \theta =- ( 2 \pi - \theta )\sin \theta $$

$$ \frac {dy} {d \theta } =\sin \theta -\sin \theta + ( 2 \pi - \theta )\cos \theta = ( 2 \pi - \theta )\cos \theta $$

이므로 곡선의 길이 $ l $은

$$ l  = \int _ {0} ^ {2 \pi } {} \sqrt {\left ( \frac {dx} {d \theta } \right ) ^ {2} + \left ( \frac {dy} {d \theta } \right ) ^ {2} } d \theta \\  = \int _ {0} ^ {2 \pi } {\sqrt { ( 2 \pi - \theta ) ^ {2} } } d \theta =2 \pi ^ {2} $$