[카톨릭대 의대] 2019학년도 카톨릭대 의대수리논술

 

 

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[문항 1] 제시문 (ㄱ)~(ㄷ)을 읽고 논제에 답하시오. (100점)

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(ㄱ) 아래 그림과 같이 $ \rm \overline {AB} $와 $ \rm \overline {CD} $가 서로 평행인 사다리꼴 $ \rm ABCD $에서 $ \rm \overline {BC} $를 삼등분한 점 중 $ \rm B $에 가까운 점을 $ \rm M $, $ \rm \overline {CD} $를 $ 3:2 $로 내분한 점을 $ \rm N $, $ \rm \overline {BN} $과 $ \rm \overline {DM} $의 교점을 $ \rm E $, $ \rm \overline {CE} $를 포함하는 직선과 $ \rm \overline {AB} $를 포함하는 직선의 교점을 $ \rm F $라 하자.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 그림에서 벡터 $ \rm \overrightarrow {CE} $는 상수 $ m,~n $에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

$$ \rm \overrightarrow {CE} = \it m \rm \overrightarrow {CB} + \it n \rm \overrightarrow {CD} $$

 

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 그림에서 벡터 $ \rm \overrightarrow {CF} $는 상수 $ k $에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

$$ \rm \overrightarrow {CF} = \it k  ~\rm \overrightarrow {CE} $$

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[논제] 제시문 (ㄴ)의 상수 $ m,~n $과 제시문 (ㄷ)의 상수 $ k $를 각각 구하고 그 근거를 논술하시오. (100점)

 

 

[문항 2] 제시문 (ㄱ)~(ㄹ)을 읽고 논제에 답하시오. (100점)

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(ㄱ) 결승전에 오른 $ A,~B $ 두 팀이 다음과 같은 규칙에 따라 경기를 하여 우승팀을 정하려고 한다.

- $ 4 $번의 경기를 먼저 이기는 팀이 우승한다.

- 모든 경기는 승패가 결정되고 무승부는 없다.

          

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 매 경기에서 각 팀이 이길 확률은 다음 조건을 만족시킨다.

          - 첫 경기에서 이길 확률은 양 팀 모두 $ \frac {1} {2} $이다.

          - $ n $번째까지의 경기 전적이 $ s $승 $ t $패인 팀이 $ ( n+1) $번째 경기를 이길 확률은

$$ \frac {5+ ( s-t)} {10} $$

          이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 결승전에서 두 번째 경기까지의 전적이 두 팀 모두 $ 1 $승 $ 1 $패인 사건을 $ E $, $ 5 $번 이하의 경기에서 우승팀이 정해지는 사건을 $ F $라고 하자.

 

(ㄹ) [조건부확률] 사건 $ A $가 일어났을 때의 사건 $ B $의 조건부확률은 다음과 같다.

$ \rm P$$ ( B|A)= \frac {\rm P ( \it A \cap B)} {\rm P ( \it A)} $ (단, $ \rm P ( \it A)>0 $)

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[논제] 제시문 (ㄷ)의 사건 $ E,~F $에 대하여 조건부확률 $ \rm P ( \it E~|~F) $를 구하고 그 근거를 논술하시오. (100점)

 

 

 

[문항 3] 제시문 (ㄱ)~(ㄷ)을 읽고 논제에 답하시오. (110점)

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(ㄱ) 함수 $ f ( t) $는 다음과 같다.

$$ f ( t)=2 \left ( 1-|t-1| \right ) ~ \left ( 0 \leq t \leq \frac {4} {3} \right ) $$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 $ f ( t) $에 대하여 $ g ( t) $는 다음과 같다.

$$ g ( t)= \int _ {0} ^ {x} {|x-f ( t)|dt} ~ \left ( 0 \leq t \leq \frac {4} {3} \right ) $$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 $ g ( x) $에 대하여다음 조건을 만족시키는 실수 $ a $ 전체의 집합을 $ A $라고 하자.

곡선 $ y=g ( x) $와 직선 $ y=ax $는 구간 $ \left [ 0,~ \frac {4} {3} \right ] $에서 서로 다른 세 점에서 만난다.

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[논제] 제시문 (ㄷ)의 $ A $를 구하고 그 근거를 논술하시오. (110점)

 

 

[문항 4] 제시문 (ㄱ)~(ㄹ)을 읽고 논제에 답하시오. (110점)

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(ㄱ) [변량의 표준편차] $ n $개의 변량 $ b _ {1} ,~b _ {2} ,~ \cdots ,~b _ {n} $의 평균을 $ m $이라 할 때, 표준편차는 다음과 같다.

$$ \sigma = \sqrt { \frac {\left ( b _ {1} -m \right ) ^ {2} + \left ( b _ {1} -m \right ) ^ {2} + \cdots + \left ( b _ {1} -m \right ) ^ {2} } {n} } $$

 

(ㄴ) $ ( k+1) $개의 변량 $ c,~c _ {1} ,~c _ {2} ,~ \cdots ,~c _ {k} $는 첫째항이 $ c $, 공차가 $ 3 $, 항의 개수가 $ \left ( k+1 \right ) $개인 등차수열을 이룬다. (단, $ k \geq 1 $)

 

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 변량 $ c,~c _ {1} ,~c _ {2} ,~ \cdots ,~c _ {k} $의 표준편차를 $ \sigma_k $라고 할 때, $ l $은 다음과 같다.

$$ \lim\limits _ { n\rightarrow\infty} { \sum\limits _ { k=1} ^ {n } \frac { \sigma_k} {2n^2 -k^2 } } $$

(ㄹ) [수열의 극한값의 대소관계] 수열의 극한값에 대하여 다음이 성립한다.

두 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} ,~ \left\{ b _ {n} \right\} $이 수렴하고 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {a _ {n} = \alpha ,~ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {b _ {n} =\beta} } $ (단, $ \alpha,~\beta $는 실수)일 때,

모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a _ {n} \leq b _ {n} $이면 $ \alpha \leq \beta $

2. $ \left\{ c _ {n} \right\} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n \leq c_n \leq b_n $이고 $ \alpha=\beta $이면

$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } c _ {n} = \alpha $$

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[논제] 제시문 (ㄷ)의 $ l $를 구하고 그 근거를 논술하시오. (110점)