[카톨릭대 의대] 2019학년도 카톨릭대 의대수리논술

 

 

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[문항 1] 제시문 (ㄱ)~(ㄷ)을 읽고 논제에 답하시오. (100점)

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(ㄱ) 아래 그림과 같이 $\rm \overline {AB}$와 $\rm \overline {CD}$가 서로 평행인 사다리꼴 $\rm ABCD$에서 $\rm \overline {BC}$를 삼등분한 점 중 $\rm B$에 가까운 점을 $\rm M$, $\rm \overline {CD}$를 $3:2$로 내분한 점을 $\rm N$, $\rm \overline {BN}$과 $\rm \overline {DM}$의 교점을 $\rm E$, $\rm \overline {CE}$를 포함하는 직선과 $\rm \overline {AB}$를 포함하는 직선의 교점을 $\rm F$라 하자.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 그림에서 벡터 $\rm \overrightarrow {CE}$는 상수 $m,~n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

$$\rm \overrightarrow {CE} = \it m \rm \overrightarrow {CB} + \it n \rm \overrightarrow {CD}$$

 

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 그림에서 벡터 $\rm \overrightarrow {CF}$는 상수 $k$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

$$\rm \overrightarrow {CF} = \it k  ~\rm \overrightarrow {CE}$$

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[논제] 제시문 (ㄴ)의 상수 $m,~n$과 제시문 (ㄷ)의 상수 $k$를 각각 구하고 그 근거를 논술하시오. (100점)

 

 

[문항 2] 제시문 (ㄱ)~(ㄹ)을 읽고 논제에 답하시오. (100점)

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(ㄱ) 결승전에 오른 $A,~B$ 두 팀이 다음과 같은 규칙에 따라 경기를 하여 우승팀을 정하려고 한다.

- $4$번의 경기를 먼저 이기는 팀이 우승한다.

- 모든 경기는 승패가 결정되고 무승부는 없다.

          

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 매 경기에서 각 팀이 이길 확률은 다음 조건을 만족시킨다.

          - 첫 경기에서 이길 확률은 양 팀 모두 $\frac {1} {2}$이다.

          - $n$번째까지의 경기 전적이 $s$승 $t$패인 팀이 $( n+1)$번째 경기를 이길 확률은

$$\frac {5+ ( s-t)} {10}$$

          이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 결승전에서 두 번째 경기까지의 전적이 두 팀 모두 $1$승 $1$패인 사건을 $E$, $5$번 이하의 경기에서 우승팀이 정해지는 사건을 $F$라고 하자.

 

(ㄹ) [조건부확률] 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률은 다음과 같다.

$\rm P$$( B|A)= \frac {\rm P ( \it A \cap B)} {\rm P ( \it A)}$ (단, $\rm P ( \it A)>0$)

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[논제] 제시문 (ㄷ)의 사건 $E,~F$에 대하여 조건부확률 $\rm P ( \it E~|~F)$를 구하고 그 근거를 논술하시오. (100점)

 

 

 

[문항 3] 제시문 (ㄱ)~(ㄷ)을 읽고 논제에 답하시오. (110점)

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(ㄱ) 함수 $f ( t)$는 다음과 같다.

$$f ( t)=2 \left ( 1-|t-1| \right ) ~ \left ( 0 \leq t \leq \frac {4} {3} \right )$$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 $f ( t)$에 대하여 $g ( t)$는 다음과 같다.

$$g ( t)= \int _ {0} ^ {x} {|x-f ( t)|dt} ~ \left ( 0 \leq t \leq \frac {4} {3} \right )$$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 $g ( x)$에 대하여다음 조건을 만족시키는 실수 $a$ 전체의 집합을 $A$라고 하자.

곡선 $y=g ( x)$와 직선 $y=ax$는 구간 $\left [ 0,~ \frac {4} {3} \right ]$에서 서로 다른 세 점에서 만난다.

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[논제] 제시문 (ㄷ)의 $A$를 구하고 그 근거를 논술하시오. (110점)

 

 

[문항 4] 제시문 (ㄱ)~(ㄹ)을 읽고 논제에 답하시오. (110점)

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(ㄱ) [변량의 표준편차] $n$개의 변량 $b _ {1} ,~b _ {2} ,~ \cdots ,~b _ {n}$의 평균을 $m$이라 할 때, 표준편차는 다음과 같다.

$$\sigma = \sqrt { \frac {\left ( b _ {1} -m \right ) ^ {2} + \left ( b _ {1} -m \right ) ^ {2} + \cdots + \left ( b _ {1} -m \right ) ^ {2} } {n} }$$

 

(ㄴ) $( k+1)$개의 변량 $c,~c _ {1} ,~c _ {2} ,~ \cdots ,~c _ {k}$는 첫째항이 $c$, 공차가 $3$, 항의 개수가 $\left ( k+1 \right )$개인 등차수열을 이룬다. (단, $k \geq 1$)

 

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 변량 $c,~c _ {1} ,~c _ {2} ,~ \cdots ,~c _ {k}$의 표준편차를 $\sigma_k$라고 할 때, $l$은 다음과 같다.

$$\lim\limits _ { n\rightarrow\infty} { \sum\limits _ { k=1} ^ {n } \frac { \sigma_k} {2n^2 -k^2 } }$$

(ㄹ) [수열의 극한값의 대소관계] 수열의 극한값에 대하여 다음이 성립한다.

두 수열 $\left\{ a _ {n} \right\} ,~ \left\{ b _ {n} \right\}$이 수렴하고 $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {a _ {n} = \alpha ,~ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {b _ {n} =\beta} }$ (단, $\alpha,~\beta$는 실수)일 때,

모든 자연수 $n$에 대하여 $a _ {n} \leq b _ {n}$이면 $\alpha \leq \beta$

2. $\left\{ c _ {n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \leq c_n \leq b_n$이고 $\alpha=\beta$이면

$$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } c _ {n} = \alpha$$

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[논제] 제시문 (ㄷ)의 $l$를 구하고 그 근거를 논술하시오. (110점)