[더플러스수학] 2015학년도 가형 수능 30번

https://tv.kakao.com/channel/3372901/cliplink/401187304

2015학년도 가형 수능 30번

함수 $ f ( x)=e ^ {x+1} -1 $과 자연수 $ n $에 대하여 함수 $ g ( x) $를 $ g ( x)=100 \left | f ( x) \right | - \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left | f ( x ^ {k} ) \right | $ 이라 하자. $ g ( x) $가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 $ n $의 값의 합을 구하시오.  [4점][2015학년도 수능]

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

정답 39

$ \left | f ( x) \right | = { \begin {cases} -e ^ {x+1} +1 & ( x<-1) \\ e ^ {x+1} -1 & ( x \geq -1)\end {cases} } $ 이므로

$ \frac {d} {dx} \left | f ( x) \right | = { \begin {cases} -e ^ {x+1} & ( x<-1) \\ e ^ {x+1} & ( x>-1)\end {cases} } $ 이다.

따라서 $ p ( x)=100 \left | f ( x) \right | $ 라 하면 함수 $ p ( x) $는 $ x=-1 $에서 미분가능하지 않고,

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1-0} {p ' ( x)=-100} $$

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1+0} {p ' ( x)=100} $$

이다.

한변, $ k=2m-1$ ( $m$은자연수) 일 때,

$ f ( x ^ {k} )=e ^ {x ^ {2m-1} +1} -1 $이므로

$ f ( x ^ {k} )=e ^ {x ^ {2m-1} +1} -1=0 $ 에서 $ x=-1 $

$$ \therefore \left | f ( x ^ {2m-1} ) \right | = { \begin {cases} -e ^ {x ^ {2m-1} +1} +1 & ( x<-1) \\ e ^ {x ^ {2m-1} +1} -1 & ( x \geq -1)\end {cases} } $$

$$ \therefore \frac {d} {dx} \left | f ( x ^ {2m-1} ) \right | = { \begin {cases} - ( 2m-1)x ^ {2m-2} e ^ {x ^ {2m-1} +1} & ( x<-1) \\ ( 2m-1)x ^ {2m-2} e ^ {x ^ {2m-1} +1} & ( x \geq -1)\end {cases} } $$

따라서 $ q ( x ^ {2m-1} )= \left | f ( x ^ {2m-1} ) \right | $ 이라 하면

함수 $ q ( x ^ {2m-1} ) $는 $ x=-1 $에서 미분가능하지 않고,

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1-0} {q ' ( x ^ {2m-1} )=- ( 2m-1)} $$

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1+0} {q ' ( x ^ {2m-1} )=2m-1} $$

이다.

또, $ k=2m ( m은자연수) $일 때,

$ f ( x ^ {k} )=e ^ {x ^ {2m} +1} -1 $이므로 모든 실수 $ x $에 대하여 $ f ( x ^ {k} )>0 $이다.

따라서

$ \left | f ( x ^ {k} ) \right | =e ^ {x ^ {2m} +1} -1 $ 이므로

$ \frac {d} {dx} \left | f ( x ^ {k} ) \right | =2mx ^ {2m-1} e ^ {x ^ {2m} +1} $

따라서 $ r ( x ^ {2m} )= \left | f ( x ^ {2m} ) \right | $ 이라 하면 함수 $ r ( x ^ {2m} ) $은 실수 전체집합에서 미분가능하다.

이제 $ n=2m-1 $또는 $ n=2m $일 때,

함수 $ 100 \left | f ( x) \right | - \sum\limits _ {k=1} ^ {m} \left | f ( x ^ {2k-1} ) \right | $를 $ s ( x) $라 하자. 즉

$$ s ( x)=p ( x)- \sum\limits _ {k=1} ^ {m} q ( x ^ {2k-1} ) $$

이때 함수 $ s ( x) $가 $ x=-1 $에서 미분가능하면 함수 $ g ( x) $는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

$ x \neq -1 $일 때

$ s ' ( x)=p ' ( x)- \sum\limits _ {k=1} ^ {m} q ' ( x ^ {2k-1} ) $이므로

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1-0} {s ' ( x)=-100+ \sum\limits _ {k=1} ^ {m} ( 2k-1)} $$

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1+0} {s ' ( x)=100- \sum\limits _ {k=1} ^ {m} ( 2k-1)} $$

이때, 함수 $ s ( x) $가 $ x=-1 $에서 미분가능하려면

$$ \lim\limits _ {x \rightarrow -1-0} {s \prime ( x)= \lim\limits _ {x \rightarrow -1+0} {s \prime ( x)} } $$

즉, $ -100+ \sum\limits _ {k=1} ^ {m} ( 2k-1)=100- \sum\limits _ {k=1} ^ {m} ( 2k-1) $

이어야 한다.

$ \sum\limits _ {k=1} ^ {m} ( 2k-1)=m ^ {2} =100 $에서 $ m=10 $

따라서 $ n=2m-1 $ 또는 $ n=2m $이므로

$ n=19 $ 또는 $ n=20 $ 이다.

따라서 구하는 모든 자연수 $ n $의 값은 합은 $ 19+20=39 $