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[더플러스수학] 2015학년도 가형 수능 30번수능 모의고사 2019. 8. 14. 10:23
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2015학년도 가형 수능 30번
함수 f(x)=ex+1−1f(x)=ex+1−1과 자연수 nn에 대하여 함수 g(x)g(x)를 g(x)=100|f(x)|−n∑k=1|f(xk)|g(x)=100|f(x)|−n∑k=1∣∣f(xk)∣∣ 이라 하자. g(x)g(x)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 nn의 값의 합을 구하시오. [4점][2015학년도 수능]
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더보기정답 39
|f(x)|={−ex+1+1(x<−1)ex+1−1(x≥−1)|f(x)|={−ex+1+1(x<−1)ex+1−1(x≥−1) 이므로
ddx|f(x)|={−ex+1(x<−1)ex+1(x>−1)ddx|f(x)|={−ex+1(x<−1)ex+1(x>−1) 이다.
따라서 p(x)=100|f(x)|p(x)=100|f(x)| 라 하면 함수 p(x)p(x)는 x=−1x=−1에서 미분가능하지 않고,
limx→−1−0p′(x)=−100limx→−1−0p′(x)=−100
limx→−1+0p′(x)=100limx→−1+0p′(x)=100
이다.
한변, k=2m−1k=2m−1 ( mm은자연수) 일 때,
f(xk)=ex2m−1+1−1f(xk)=ex2m−1+1−1이므로
f(xk)=ex2m−1+1−1=0f(xk)=ex2m−1+1−1=0 에서 x=−1x=−1
∴|f(x2m−1)|={−ex2m−1+1+1(x<−1)ex2m−1+1−1(x≥−1)∴∣∣f(x2m−1)∣∣={−ex2m−1+1+1(x<−1)ex2m−1+1−1(x≥−1)
∴ddx|f(x2m−1)|={−(2m−1)x2m−2ex2m−1+1(x<−1)(2m−1)x2m−2ex2m−1+1(x≥−1)∴ddx∣∣f(x2m−1)∣∣={−(2m−1)x2m−2ex2m−1+1(x<−1)(2m−1)x2m−2ex2m−1+1(x≥−1)
따라서 q(x2m−1)=|f(x2m−1)|q(x2m−1)=∣∣f(x2m−1)∣∣ 이라 하면
함수 q(x2m−1)q(x2m−1)는 x=−1x=−1에서 미분가능하지 않고,
limx→−1−0q′(x2m−1)=−(2m−1)limx→−1−0q′(x2m−1)=−(2m−1)
limx→−1+0q′(x2m−1)=2m−1limx→−1+0q′(x2m−1)=2m−1
이다.
또, $ k=2m ( m은자연수) $일 때,
f(xk)=ex2m+1−1f(xk)=ex2m+1−1이므로 모든 실수 xx에 대하여 f(xk)>0f(xk)>0이다.
따라서
|f(xk)|=ex2m+1−1∣∣f(xk)∣∣=ex2m+1−1 이므로
ddx|f(xk)|=2mx2m−1ex2m+1ddx∣∣f(xk)∣∣=2mx2m−1ex2m+1
따라서 r(x2m)=|f(x2m)|r(x2m)=∣∣f(x2m)∣∣ 이라 하면 함수 r(x2m)r(x2m)은 실수 전체집합에서 미분가능하다.
이제 n=2m−1n=2m−1또는 n=2mn=2m일 때,
함수 100|f(x)|−m∑k=1|f(x2k−1)|100|f(x)|−m∑k=1∣∣f(x2k−1)∣∣를 s(x)s(x)라 하자. 즉
s(x)=p(x)−m∑k=1q(x2k−1)s(x)=p(x)−m∑k=1q(x2k−1)
이때 함수 s(x)s(x)가 x=−1에서 미분가능하면 함수 g(x)는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
x≠−1일 때
s′(x)=p′(x)−m∑k=1q′(x2k−1)이므로
limx→−1−0s′(x)=−100+m∑k=1(2k−1)
limx→−1+0s′(x)=100−m∑k=1(2k−1)
이때, 함수 s(x)가 x=−1에서 미분가능하려면
limx→−1−0s′(x)=limx→−1+0s′(x)
즉, −100+m∑k=1(2k−1)=100−m∑k=1(2k−1)
이어야 한다.
m∑k=1(2k−1)=m2=100에서 m=10
따라서 n=2m−1 또는 n=2m이므로
n=19 또는 n=20 이다.
따라서 구하는 모든 자연수 n의 값은 합은 19+20=39
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