-
['94 포스텍] 1994학년도 포스텍 본고사 문제수리논술과 심층면접 2019. 9. 22. 19:29
실수 위에서 정의된 G(x)는 최댓값과 최솟값을 갖는 연속함수이고 m(x)는 양의 값을 갖고 m(x)+m(x+1)=1을 만족하는 함수이다. 모든 실수 x에 대하여
G(2x)=m(x)G(x)+m(x+1)G(x+1)
이 성립한다.
(1) 함수 G(x)가 x=x0에서 최솟값을 가질 때, G(x0)=G(x02)임을 보여라.
(2) 함수 G(x)는 상수함수임을 보여라. [‘94 포항공대]
https://tv.naver.com/v/9942131
[포스텍 본고사] 1994학년도 포스텍 본고사문제 [더플러스수학]
더플러스수학 | [포스텍 본고사] 1994학년도 포스텍 본고사문제 [더플러스수학]
tv.naver.com
정답 및 풀이
(1) m(x)+m(x+1)=1이므로
G(2x)=m(x)G(x)+(1−m(x))G(x+1)
이다. 이 식에 x대신 x02를 대입하고, G(x0)가 최소값임을 이용하면
G(x0)=m(x02)G(x02)+(1−m(x02))G(x02+1)≥m(x02)G(x02)+(1−m(x02))G(x0)
이다. 이를 정리하면
0≥m(x02)G(x02)−m(x02)G(x0)
∴
이다.
(다른 풀이)
m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) =1 이고 m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) >0,~m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) >0 이므로
G ( x _ {0} )= \frac {m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )} {m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )}
G ( x _ {0} ) 는 G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) 와 G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) 사이에 있다.( \because 내분점)
만약 G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) \neq G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) 이면 G ( x _ {0} ) 는 최솟값이 될 수 없다. 따라서
G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) =G ( x _ {0} )=G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )
이다.
(2) x=x _ {1} 에서 G ( x) 가 최댓값을 갖는다고 하면 (1)과 동일한 방법으로 하면
G ( x _ {1} )=G \left ( \frac {x _ {1} } {2} \right )
이다. 따라서 다음 과정을 반복하면 모든 자연수 n 에 대하여
G ( x _ {0} )=G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) =G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {2} } \right ) = \cdots =G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {n} } \right )
G ( x _ {1} )=G \left ( \frac {x _ {1} } {2} \right ) =G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {2} } \right ) = \cdots =G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {n} } \right )
이 성립한다. 또, 함수 G ( x) 가 모든 실수에서 연속하므로
\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {n} } \right ) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {n} } \right )} } =G ( 0)
이다. 따라서 G ( x _ {0} )=G ( x _ {1} )=G ( 0) 이다. 최댓값과 최솟값이 서로 같은 함수는 상수함수밖에 없으므로 함수 G ( x) 는 상수함수이다.
'수리논술과 심층면접' 카테고리의 다른 글
[서울대 심층면접] 2006학년도 서울대 심층면접 (0) 2019.09.22 [고려대 논술] 2012학년도 고려대 수시 논술(자연계 A) (0) 2019.09.22 [시립대 논술] 2010학년도 서울시립대 논술 (0) 2019.09.22 [카톨릭대 의대] 2019학년도 카톨릭대 의대수리논술 (0) 2019.09.21 [성균관대 수리논술] 2009학년도 성균관대 과고전형 [더플러스수학] (1) 2019.09.16