Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js

ABOUT ME

울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

Today
Yesterday
Total
  • ['94 포스텍] 1994학년도 포스텍 본고사 문제
    수리논술과 심층면접 2019. 9. 22. 19:29

    실수 위에서 정의된 G(x)는 최댓값과 최솟값을 갖는 연속함수이고 m(x)는 양의 값을 갖고 m(x)+m(x+1)=1을 만족하는 함수이다. 모든 실수 x에 대하여

    G(2x)=m(x)G(x)+m(x+1)G(x+1)

    이 성립한다.

    (1) 함수 G(x)x=x0에서 최솟값을 가질 때, G(x0)=G(x02)임을 보여라.

    (2) 함수 G(x)는 상수함수임을 보여라. [‘94 포항공대]

    https://tv.naver.com/v/9942131

     

    [포스텍 본고사] 1994학년도 포스텍 본고사문제 [더플러스수학]

    더플러스수학 | [포스텍 본고사] 1994학년도 포스텍 본고사문제 [더플러스수학]

    tv.naver.com

     

     


    정답 및 풀이

    (1) m(x)+m(x+1)=1이므로

    G(2x)=m(x)G(x)+(1m(x))G(x+1)

    이다. 이 식에 x대신 x02를 대입하고, G(x0)가 최소값임을 이용하면

    G(x0)=m(x02)G(x02)+(1m(x02))G(x02+1)m(x02)G(x02)+(1m(x02))G(x0)

    이다. 이를 정리하면

    0m(x02)G(x02)m(x02)G(x0)

    이다.

    (다른 풀이)

    m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) =1 이고 m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) >0,~m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) >0 이므로

    G ( x _ {0} )= \frac {m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )} {m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )}

    G ( x _ {0} ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) 사이에 있다.( \because 내분점)

    만약 G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) \neq G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) 이면 G ( x _ {0} ) 는 최솟값이 될 수 없다. 따라서

    G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) =G ( x _ {0} )=G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )

    이다.

    (2) x=x _ {1} 에서 G ( x) 가 최댓값을 갖는다고 하면 (1)과 동일한 방법으로 하면

    G ( x _ {1} )=G \left ( \frac {x _ {1} } {2} \right )

    이다. 따라서 다음 과정을 반복하면 모든 자연수 n 에 대하여

    G ( x _ {0} )=G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) =G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {2} } \right ) = \cdots =G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {n} } \right )

    G ( x _ {1} )=G \left ( \frac {x _ {1} } {2} \right ) =G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {2} } \right ) = \cdots =G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {n} } \right )

    이 성립한다. , 함수 G ( x) 가 모든 실수에서 연속하므로

    \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {n} } \right ) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {n} } \right )} } =G ( 0)

    이다. 따라서 G ( x _ {0} )=G ( x _ {1} )=G ( 0) 이다. 최댓값과 최솟값이 서로 같은 함수는 상수함수밖에 없으므로 함수 G ( x) 는 상수함수이다.

    댓글

Designed by Tistory.