['94 포스텍] 1994학년도 포스텍 본고사 문제

실수 위에서 정의된 $ G ( x) $는 최댓값과 최솟값을 갖는 연속함수이고 $ m ( x) $는 양의 값을 갖고 $ m ( x)+m ( x+1)=1 $을 만족하는 함수이다. 모든 실수 $ x $에 대하여

$$ G ( 2x)=m ( x)G ( x)+m ( x+1)G ( x+1) $$

이 성립한다.

(1) 함수 $ G ( x) $가 $ x=x _ {0} $에서 최솟값을 가질 때, $$ G ( x _ {0} )=G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) $$임을 보여라.

(2) 함수 $ G ( x) $는 상수함수임을 보여라. [‘94 포항공대]

https://tv.naver.com/v/9942131

[포스텍 본고사] 1994학년도 포스텍 본고사문제 [더플러스수학]

 

 

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정답 및 풀이

(1) $ m ( x)+m ( x+1)=1 $이므로

$ G ( 2x)=m ( x)G ( x)+ ( 1-m ( x))G ( x+1) $

이다. 이 식에 $ x $대신 $ \frac {x _ {0} } {2} $를 대입하고, $ G ( x _ {0} ) $가 최소값임을 이용하면

$$ \begin{split} G ( x _ {0} )  &=m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) + \left ( 1-m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) \\  &\geq m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) + \left ( 1-m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) \right ) G \left ( x _ {0} \right ) \end{split} $$

이다. 이를 정리하면

$$ 0\geq m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) -m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( x _ {0} \right ) $$

$$\therefore ~G(x_0 \geq G \left( \frac{x_0}{2} \right)$$

이다.

(다른 풀이)

$ m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) =1 $이고 $ m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) >0,~m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) >0 $이므로

$$ G ( x _ {0} )= \frac {m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )} {m \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) +m \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right )} $$

$ G ( x _ {0} ) $는 $ G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) $와 $ G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) $사이에 있다.($ \because $ 내분점)

만약 $ G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) \neq G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) $이면 $ G ( x _ {0} ) $는 최솟값이 될 수 없다. 따라서

$$ G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) =G ( x _ {0} )=G \left ( \frac {x _ {0} } {2} +1 \right ) $$

이다.

(2) $ x=x _ {1} $에서 $ G ( x) $가 최댓값을 갖는다고 하면 (1)과 동일한 방법으로 하면

$$ G ( x _ {1} )=G \left ( \frac {x _ {1} } {2} \right ) $$

이다. 따라서 다음 과정을 반복하면 모든 자연수 $ n $에 대하여

$$ G ( x _ {0} )=G \left ( \frac {x _ {0} } {2} \right ) =G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {2} } \right ) = \cdots =G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {n} } \right ) $$

$$ G ( x _ {1} )=G \left ( \frac {x _ {1} } {2} \right ) =G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {2} } \right ) = \cdots =G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {n} } \right ) $$

이 성립한다. 또, 함수 $ G ( x) $가 모든 실수에서 연속하므로

$$ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {G \left ( \frac {x _ {0} } {2 ^ {n} } \right ) = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {G \left ( \frac {x _ {1} } {2 ^ {n} } \right )} } =G ( 0) $$

이다. 따라서 $ G ( x _ {0} )=G ( x _ {1} )=G ( 0) $이다. 최댓값과 최솟값이 서로 같은 함수는 상수함수밖에 없으므로 함수 $ G ( x) $는 상수함수이다.