[고려대 논술] 2012학년도 고려대 수시 논술(자연계 A)

고려대 2012학년도 수리논술문제입니다.
동영상 풀이는 아래와 같습니다.
https://youtu.be/MB-UiMbSL-Q

2012학년도 고려대 수리논술 풀이 동영상

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(가)
두 함수 $ f $와 $ g $는 정의역과 공역이 모두 양의 실수 전체의 집합인 연속함수이다. 함수 $ f $는 정의역의 모든 점에서 양의 미분계수를 갖는다. 그림 1과 같이 임의의 양수 $ t $에 대하여 곡선 $ y=f ( x) $ 위의 점 $ \rm F$ $ ( t,~f ( t)) $에서의 접선과 $ x $축이 이루는 예각의 크기는, 원점과 점 $ \rm G$$ ( t,~g ( t)) $를 잇는 선분과 $ y $축이 이루는 예각의 크기와 같다.
(나)
세 양수 $ a,~b,~c $가 $ a<b<c $를 만족할 때 $ a $와 $ b $의 산술평균을 $ d $라 하고 $ b $와 $ c $의 산술평균을 $ e $라 하자. 그림 2와 같이 곡선 $ y= \frac {1} {2} x ^ {2} $ 위의 세 점 $ A \left ( a,~ \frac {1} {2} a ^ {2} \right ) $, $ B \left ( b,~ \frac {1} {2} b ^ {2} \right ) $, $ C \left ( c,~ \frac {1} {2} c ^ {2} \right ) $에 대하여 두 직선 $ \rm AB $와 $ \rm BC $가 이루는 예각의 크기를 $ \alpha $라 하고, 직선 $ y=1 $ 위의 두 점 $ \rm D $$ ( d,~1) $, $ \rm E $ $( e,~1) $에 대하여 두 직선 $ \rm OD $와 $ \rm OE $가 이루는 예각의 크기를 $ \beta $라 하자.

그림1&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; 그림2

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논제 1. (필수) 위의 제시문 (가)와 (나)를 읽고 다음 질문에 답하시오.
(a) 제시문 (가)에서의 두 함수 $ f $와 $ g $사이의 관계식을 구하고, 함수 $ g $가 상수함수 $ g ( x)=1 $일 때의 함수 $ f $를 구하시오.
 
(b) 논제 1(a)의 결과를 이용하여 제시문 (나)의 $ \alpha $와 $ \beta $사이의 관계를 도출하시오.
 
 
 

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(다) 그림과 같이 좌표공간에 중심이 $ \rm B$ $( t,~0,~1) $이고 반지름이 1인 구가 있다. 점 $ \rm A ( 0,~0,~3) $에 고정된 점광원에 의해 $ xy $평면에 그림자가 생긴다. 그림자의 가장자리의 한 점과 $ \rm A $를 잇는 직선 위의 한 점을 $ \rm P $ $ ( x,~y,~z) $라고 한다.

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논제 2. (필수) 위의 제시문 (다)를 읽고 다음 질문에 답하시오.
(a) $ \rm P $와 $ \rm A $가 서로 다른 점일 때, $ \sin ( \angle \rm PAB) $를 $ t $만의 식으로 나타내시오.
(b) 점 $ \rm P$ $ ( x,~y,~z) $의 좌표가 만족하는 방정식을 찾으시오.
(c) 구의 그림자의 넓이를 $ S ( t) $라 할 때, $$ \lim\limits _ {t \rightarrow \infty } { ( S ( t)-f ( t))=0} $$을 만족하는 다항함수 $ f ( t) $를 찾으시오.