[킬러문항] 2017학년도 가형 6월 평가원 21번 [더플러스수학]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수$f ( x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) $f ( x) \neq 1$

(나) $f ( x)+f ( -x)=0$

(다) $f ' ( x)= \left\{ 1+f ( x) \right\} \left\{ 1+f ( -x) \right\}$

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<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [2016년 6월]

<보기>

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ㄱ. 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x) \neq -1$이다.

ㄴ. 함수 $f ( x)$는 어떤 열린 구간에서 감소한다.

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① ㄱ                ② ㄴ                     ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

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정답 및 풀이 ①

ㄱ. (가), (나)에 의하여 $f \left ( x \right ) =-f \left ( -x \right )$이고$f ( -x) \neq 1$이므로$-f ( -x) \neq -1$이다.

$\therefore ~f \left(x \right) \neq -1$

$\therefore ~f \left ( x \right ) \neq -1$ $\therefore$참

ㄴ. $f \left ( x \right )$는 전 구간에서 미분 가능하고 연속인 원점 대칭 함수이므로 반드시 원점을 지나야 한다.

또한$f ( x) \neq 1$, $f ( x) \neq -1$이기 위해$f ( x)$은$-1$과$1$사이여야 한다.

$\therefore~ -1<f \left ( x \right ) <1$

(다)에서

$\begin{align} f' (x) &= \left \{ 1+ f(x) \right \} \left\{ 1+ f(-x) \right\} \\ &= \left \{ 1+f(x) \right\} \left\{ 1-f (x) \right\} \\&=1- \left\{ f(x) \right\}^2 \end{align}$

∴$f ' \left ( x \right ) >0$

함수$f \left ( x \right )$는 전 구간에서 증가한다.∴거짓

ㄷ. $f ' \left ( x \right ) =1- \left\{ f \left ( x \right ) \right\} ^ {2}$에서 양변을 미분하면$f '' \left ( x \right ) =-2f \left ( x \right ) f ' \left ( x \right )$

$\left ( 0,~0 \right )$에서만 이계도함수의 부호가 바뀌므로 변곡점은 오직 하나이다. $\therefore$ 거짓

따라서 옳은 것은ㄱ뿐이다.

[다른풀이]

ㄷ에서 $f ( x)=-f ( -x)$

$$f ' ( x)= \left ( 1+f ( x) \right ) \left ( 1-f ( x) \right )$$

$$\frac{f ' ( x)}{\left ( 1+f ( x) \right ) \left ( 1-f ( x) \right )}=1$$

$$\frac{f ' ( x)}{\left ( 1+f ( x) \right ) \left ( f ( x)-1 \right )}=-1$$

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)-1} -\frac{f'(x)}{f(x)+1}dx = \int -2dx$$

$$\ln \left | f ( x)-1 \right | -\ln \left | f ( x)+1 \right | =-2x+ \mathrm{C}$$

$f ( 0)=0$이므로

$$\therefore \mathrm {C} =0$$

$$- \frac {f ( x)-1} {f ( x)+1} =e ^ {-2x}$$

$$1-f ( x)=e ^ {-2x} f ( x)+e ^ {-2x}$$

$$\left ( e ^ {-2x} +1 \right ) f ( x)=1-e ^ {-2x}$$

$$f ( x)= \frac {1-e ^ {-2x} } {1+e ^ {-2x} }$$