[평가원기출] 2007학년도 가형 9월 12번

 

# 정적분의 정의, 구분구적법에 대한 정확한 이해, 좌종점 합, 우종점 합, 리만합 등등에 대해 반드시 알아야 할 핵심문제임.

https://tv.kakao.com/v/402658579

[평가원기출] 2007학년도 가형 9월 12번

함수 $f ( x)=x ^ {2}$에 대하여 그림과 같이 구간 $\left [ 0,~1 \right ]$을 $2n$등분한 후, 구간 $\left [ \frac {k-1 _ {} } {2n ^ {} } ,~ \frac {k _ {} } {2n ^ {} } \right ]$를 밑변으로 하고 높이가 $f \left ( \frac {k _ {} } {2n ^ {} } \right )$인 직사각형의 넓이를 $S _ {k}$라 하자. (단, $n$은 자연수이고 $k=1,~2,~3,~ \cdots ,~2n$이다.)

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점][2006년 9월]

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ㄱ. $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \sum\limits _ {k=1} ^ {n _ {} } S _ {k} = \int _ {0} ^ { \frac {1} {2} } {} x ^ {2} dx$

ㄴ. $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \sum\limits _ {k=1} ^ {n _ {} } ( S _ {2k} -S _ {2k-1} )=0$

ㄷ. $\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \sum\limits _ {k=1} ^ {n _ {} } S _ {2k} = \frac {1} {2} \int _ {0} ^ {1} {} x ^ {2} dx$

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① ㄱ                  ② ㄱ, ㄴ            ③ ㄱ, ㄷ  

④ ㄴ, ㄷ             ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

 

 

 

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정답 ⑤

ㄱ.

$$\begin{align} \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} } S _ {k} & = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left\{ \frac {1} {2n} \times f \left ( \frac {k} {2n} \right ) \right\} \\ & = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} } \left\{ \frac {1} {2n} \times \left ( \frac {k} {2n} \right ) ^ {2} \right\} \\ & = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {\sum\limits _ {k=1} ^ {n} } \left\{ \frac {1} {2} \cdot \frac {1} {n} \times \left ( \frac {1} {2} \cdot \frac {k} {n} \right ) ^ {2} \right\} \\ & = \int _ {0} ^ { \frac {1} {2} } {x ^ {2} dx} \end{align}$$ (참)

ㄴ. $$\begin{align} \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( S _ {2k} -S _ {2k-1} \right ) &= \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left\{ \frac {1} {2n} f \left ( \frac {2k} {2n} \right ) - \frac {1} {2n} f \left ( \frac {2k-1} {2n} \right ) \right\} \\&= \frac {1} {2n} \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left\{ \left ( \frac {2k} {2n} \right ) ^ {2} - \left ( \frac {2k-1} {2n} \right ) ^ {2} \right\} \\&= \frac {1} {8n ^ {3} } \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( 4k-1 \right ) = \frac {2n ^ {2} +n} {8n ^ {3} } \end{align}$$

$$\therefore~ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \sum\limits _ {k=1} ^ {n} \left ( S _ {2k} -S _ {2k-1} \right )  = \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {} \frac {2n ^ {2} +n} {8n ^ {3} } =0$$ (참)

ㄷ. 

$\begin{align} \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k=1} ^{n} S_{2k} &=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{k=1}^{n} \left \{ \frac{1}{2n} \times f \left( \frac{2k}{2n} \right) \right \} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1} ^{n} \left \{ \frac{1}{2n} \times \left( \frac{k}{n} \right)^2 \right \} \\&= \frac{1}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \sum\limits _{k=1}^{n} \left \{ \left( \frac{k}{n} \right)^2 \frac{1}{n} \right\} = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{1}{2}} x^2 dx \end{align}$

(참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.