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[킬러문항] 2017학년도 가형 6월 평가원 21번 [더플러스수학]수능 모의고사 2019. 9. 23. 14:57
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수f(x)가 모든 실수 x에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) f(x)≠1
(나) f(x)+f(−x)=0
(다) f′(x)={1+f(x)}{1+f(−x)}
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [2016년 6월]
<보기>
ㄱ. 모든 실수 x에 대하여 f(x)≠−1이다.
ㄴ. 함수 f(x)는 어떤 열린 구간에서 감소한다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.
더보기정답 및 풀이 ①
ㄱ. (가), (나)에 의하여 f(x)=−f(−x)이고f(−x)≠1이므로−f(−x)≠−1이다.
∴
\therefore ~f \left ( x \right ) \neq -1 \therefore참
ㄴ. f \left ( x \right ) 는 전 구간에서 미분 가능하고 연속인 원점 대칭 함수이므로 반드시 원점을 지나야 한다.
또한 f ( x) \neq 1 , f ( x) \neq -1 이기 위해 f ( x) 은 -1 과 1 사이여야 한다.
\therefore~ -1<f \left ( x \right ) <1
(다)에서
\begin{align} f' (x) &= \left \{ 1+ f(x) \right \} \left\{ 1+ f(-x) \right\} \\ &= \left \{ 1+f(x) \right\} \left\{ 1-f (x) \right\} \\&=1- \left\{ f(x) \right\}^2 \end{align}
∴ f ' \left ( x \right ) >0
함수 f \left ( x \right ) 는 전 구간에서 증가한다.∴거짓
ㄷ. f ' \left ( x \right ) =1- \left\{ f \left ( x \right ) \right\} ^ {2} 에서 양변을 미분하면 f '' \left ( x \right ) =-2f \left ( x \right ) f ' \left ( x \right )
\left ( 0,~0 \right ) 에서만 이계도함수의 부호가 바뀌므로 변곡점은 오직 하나이다. \therefore 거짓
따라서 옳은 것은ㄱ뿐이다.
[다른풀이]
ㄷ에서 f ( x)=-f ( -x)
f ' ( x)= \left ( 1+f ( x) \right ) \left ( 1-f ( x) \right )
\frac{f ' ( x)}{\left ( 1+f ( x) \right ) \left ( 1-f ( x) \right )}=1
\frac{f ' ( x)}{\left ( 1+f ( x) \right ) \left ( f ( x)-1 \right )}=-1
\int \frac{f'(x)}{f(x)-1} -\frac{f'(x)}{f(x)+1}dx = \int -2dx
\ln \left | f ( x)-1 \right | -\ln \left | f ( x)+1 \right | =-2x+ \mathrm{C}
f ( 0)=0 이므로
\therefore \mathrm {C} =0
- \frac {f ( x)-1} {f ( x)+1} =e ^ {-2x}
1-f ( x)=e ^ {-2x} f ( x)+e ^ {-2x}
\left ( e ^ {-2x} +1 \right ) f ( x)=1-e ^ {-2x}
f ( x)= \frac {1-e ^ {-2x} } {1+e ^ {-2x} }
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