[연세대수리논술] 2017학년도 연세대 수리논술

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[연세대수리논술] 2017학년도 연세대 수리논술

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

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[가] 다항함수 $h ( x)$의 그래프 위의 점 $( a,~h ( a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.

$$y=h ' ( a) ( x-a)+h ( a)$$

[나] 다항함수 $h ( x)$가

$h ( x)= ( x-a) ^ {n} g ( x)$ (단, $n$은 자연수이고, $g ( x)$는 다항함수이다.)

로 나타내어질 때, 방정식 $h ( x)=0$은 $x=a$를 근으로 갖는다고 한다.

특히, $n \geq 2$이면 방정식 $h ( x)=0$은$x=a$에서 중근을 갖는다고 한다.

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[1-1] 곡선 $y=x ^ {3} +1$ 위의 점 $( 1,~2)$에서의 접선의 방정식을 구하시오. [4점]

 

[1-2] 다항함수 $f ( x)$의 그래프 위의 점 $( a,~f ( a))$에서의 접선의 방정식을 $y=L ( x)$라 할 때, 방정식 $f ( x)-L ( x)=0$이 $x=a$에서 중근을 가짐을 보이시오. [8점]

 

[1-3] 다항함수 $f ( x)$의 그래프 위의 점 $( a,~f ( a))$를 지나는 직선을 $y=l ( x)$라 하자. 방정식 $f ( x)-l ( x)=0$이 $x=a$에서 중근을 가질 때, 직선 $y=l ( x)$는 곡선 $y=f ( x)$ 위의 점 $( a,~f ( a))$에서의 접선임을 보이시오. [8점]

 

 

[제시문 2]

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[가] 좌표평면에서 중심이 원점이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$ 위의 점 $( \cos \theta ,~\sin \theta )$에서의 접선을 $l _ {\theta }$ 라 할 때, 집합 $A$를 $A= \left\{~ l _ {\theta } ~|~0 \leq \theta <2 \pi \right\}$라 하자.

[나] 좌표평면 위의 점 $\rm P$가 집합 $A$의 원소 중 오직 $m$개의 원소와 만나도록 하는 점 $\rm P$의 집합을 $U _ {m}$이라 하자. 예를 들어, 집합 $U _ {0}$ 은 집합 $A$의 어떤 원소와도 만나지 않는 점의 집합이다. (단, $m$은 음이 아닌 정수이다.)

[다] 좌표평면 위의 점 $( a,~b)$가 집합 $U _ {2}$의 원소일 때, 점 $( a,~b)$를 지나는 원 $C$위의 서로 다른 두 접선의 접점을 이은 직선을 $L ( a,~b)$라 하자.

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[2-1] 음이 아닌 정수 $m$에 대하여 집합 $U _ {m}$을 구하시오. [10점]

 

[2-2] 집합 $B$를 $$B= \left\{~ L ( a,~b)~|~a ^ {2} +b ^ {2} =10 ^ {2} ,~ ( a,~b) \in U _ {2} ~\right\}$$ 라 하자. 좌표평면 위의 점 $\rm P$가 집합 $B$의 원소 중 오직 $m$개의 원소와 만나도록 하는 점 $\rm P$의 집합 $V _ {m}$을 구하시오. (단, $m$은 음이 아닌 정수이다.) [10점]

 

 

[제시문 3]

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세 함수 $p ( x),~q ( x),~r ( x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $p ( x) \leq q ( x) \leq r ( x)$이고, $\lim\limits _ {x \rightarrow a} {p ( x)= \lim\limits _ {x \rightarrow a} {r ( x)= \alpha } }$이면 $\lim\limits _ {x \rightarrow a} {q ( x)= \alpha }$이다. (단, $\alpha$는 실수이다.)

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[3-1] 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f ( x)$가 $f ( 1)=k$이고,

$$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {f \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) =f ( 0)}$$ 을 만족시킨다. 모든 자연수 $n$에 대하여

$$f \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) = \left ( 1- \frac {1} { ( n+1) ^ {2} } \right ) \cdot f \left ( \frac {1} {2 ^ {n-1} } \right )$$

일 때, $f ( 0)$의 값을 구하시오.(단, $k$는 상수이다.) [8점]

 

[3-2] 모든 실수 $x$에 대하여 $g ( x) \geq 0$인 함수 $g ( x)$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $x _ {1} <x _ {2}$이면 $g ( x _ {1} )<g ( x _ {2} )$이다.

(나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $$g \left ( \frac {1} {2 ^ {n} } \right ) \leq \frac {n} {2 ( n+1)} \cdot g \left ( \frac {1} {2 ^ {n-1} } \right )$$ 이다.

 

[3-2-1] $g ( 0)$의 값을 구하시오. [4점]

[3-2-2] $$\lim\limits _ {m \rightarrow \infty } { \frac {g \left ( \frac {1} {m} \right ) -g ( 0)} { \frac {1} {m} } }$$ 의 값을 구하시오. (단, $m$은 자연수이다.) [8점]