[서울대 심층면접] 2007학년도 심층면접

[문제1]

$$ f _ {\delta } ( x)= { \begin {cases} 1~~ & ( 0 \leq x \leq \delta )\\-1 & ( \delta \leq x \leq 1)\end {cases} } $$ (단, $ 0< \delta <1 $)

인 함수가 있다. 다음 물음에 답하여라.

(1) $$ F _ {\alpha , ~\beta } ( c)= \int _ {0} ^ {1} {} \left\{ f _ {\alpha } ( t)-cf _ {\beta } ( t) \right\} ^ {2} dt $$에서 $ F _ {\alpha , \beta } ( c) $가 최솟값이 되는 $ c $를 $ c _ {\alpha , \beta } $라 하자. $ c _ {\alpha , \beta } $를 구하여라.

 

(2) $ c _ {\alpha ,~ \beta } =0.1 $일 때, $$ \frac {F _ {\alpha , ~\beta } ( c)} {c ^ {2} } $$가 최솟값을 가질 때의 $ c $의 값은?

 

(3) $$ G= \int _ {0} ^ {1} {} \left\{ \sin \pi t+af _ { \frac {1} {4} } ( t)+bf _ { \frac {3} {4} } ( t) \right\} ^ {2} dt $$일 때, $ G $가 최소가 되게 하는 $ a,~b $를 구하고 그 때의 $ G $를 구하여라.

 

 

[문제2]

$ S $를 $ n $개의 0 혹은 1을 나열한 수열들의 전체집합이라 하자.

예를 들면 $ ( \underbrace{0,~1,~1,~0,~\cdots,~0,~1}_{n개} ) \in S $이다.

 

2-1 $ S $의 원소의 개수는?

 

2-2 $ \overrightarrow {a} = \left ( a _ {1},~ a _ {2} ,~a _ {3} , ~\cdots ,~a _ {n} \right ) $ 는 $ S $에 속하는 한 원소이다. 단, $ a _ {1} ,~a _ {2} ,~a _ {3} , ~\cdots ,~a _ {n} $ 중에서 적어도 하나는 $ 0 $이 아니다. 이 때 $ S $에서 정수들의 집합 $ Z $로 가는 함수 $ f $는

$$ f  ( \overrightarrow {x}  ) =f \left ( x _ {1} ,x _ {2} ,x _ {3} , \cdots ,x _ {n} \right ) =a _ {1} x _ {1} +a _ {2} x _ {2} +a _ {3} x _ {3} + \cdots +a _ {n} x _ {n} $$ 라 하자.

$ f   ( \overrightarrow {x}   ) $의 값이 짝수인 $ \overrightarrow {x} $들의 개수와 $ f   ( \overrightarrow {x}   ) $의 값이 홀수인 $ \overrightarrow {x} $들의 개수를 구하라. (단, 0은 짝수로 한다.)

https://tv.kakao.com/v/403182488

 

[문제3]

3-1 $ \overrightarrow {X} \left ( t \right ) = \left ( x \left ( t \right ) ,~y \left ( t \right ) ,~z \left ( t \right ) \right ) $가 $ 0 \leq t \leq 1 $에 반지름이 1인 단위 구에 위치해 있다고 하자. $ \overrightarrow {X} \left ( t \right ) $와 $ \frac {d \overrightarrow {X} \left ( t \right )} {dt} $가 서로 수직임을 보여라.

 

3-2 $ \frac {dz \left ( t \right )} {dt} >0 $인 경우 $ 0 \leq t \leq 1 $에 원점과 $ \overrightarrow {X} \left ( t \right ) $ 를 잇는 직선 $ \overline {OX \left ( t \right )} $가 휩쓸고 간 영역의 면적$ A $와 곡선 $ \overrightarrow {X} \left ( t \right ) $의 길이 $ L $ 간의 관계식이 $ A= \frac {1} {2} L $임을 보여라.

 

3-3 $ \frac {d \overrightarrow {X} } {ds} $와 $ \frac {d ^ {2} \overrightarrow {X} } {ds ^ {2} } $가 서로 수직이 되는 새로운 매개변수 $ s=s \left ( t \right ) $를 찾아라. (힌트 : $ \frac {d \overrightarrow {X} } {ds} = \frac {d \overrightarrow {X} } {dt} \frac {dt} {ds} $)

 

[문제4]

$\mathrm{P} (x_1 ,~y_1 ),~ \mathrm{Q} (x_2 ,~y_2 )$의 거리를 $ d (\mathrm{ P,~Q}) $라고 하고 다음과 같이 정의한다.

$$ d ( \mathrm{P,~Q})=max \left\{ |x _ {1} -x _ {2} |,~|y _ {1} -y _ {2} | \right\} $$

단, $ max \left \{ a,~b \right \} = \begin {cases} a&(a \geq b) \\ b &(a \leq b)  \end {cases}$

 

(1) $ O ( 0,~0),~\mathrm{P} ( x,~y) $에서 $ d ( \mathrm{O,~P})=r $를 만족하는 점 $ \mathrm{P} $의 자취를 2차원 좌표평면에 그려라.

 

(2) $ x=-p $에서 $ \mathrm{P} ( a,~b) $까지의 거리의 최솟값은 얼마인가?

 

(3) $ x=-p $에서 최소인 거리와 $ \mathrm{ F} ( p,~0) $ ($ p>0 $)까지의 거리가 같은 점 $ \mathrm{P} ( x,~y) $의 자취를 2차원 평면에 그려라.

 

 

[문제5] $ S= \left\{ ( x,y,z) \in \mathbb R ^ {3} \left |xy-z=0 \right. \right\} \subset \mathbb {R} ^ {3} $에 대하여, 다음의 물음에 답하라.  ($ \mathbb R $ : 수직선, $ \mathbb R ^ {2} $ : 좌표평면, $ \mathbb R ^ {3} $ : 좌표공간)

 

5-1. $ \mathbb R ^ {2} $를 정의역으로 하고, $ S $를 공역으로 하는 다음의 함수 $ \phi $는 일대일 대응임을 설명하라.

$$ \phi ~:~\mathbb R ^ {2}  \rightarrow S ,~ \phi ( x,~y)= ( x,~y,~xy) $$

 

5-2. 임의의 실수 $ a,~b \in \mathbb R $에 대하여 $ l _ {a} $를 좌표평면 위의 점 $ ( a,~0) $를 지나고 $ y $축에 평행인 직선, 그리고 $ m _ {b} $를 점 $ ( 0,~b) $를 지나고 $ x $축에 평행인 직선이라고 하고, $ L _ {a} ,~M _ {b} $를 각각

$$ L _ {a} = \left\{ \phi ( x,~y) \in \mathbb R ^ {3} \left| ( x,~y) \in l _ {a} \right. \right\} \subset S $$

$$ M _ {b} = \left\{ \phi ( x,~y) \in \mathbb R ^ {3} \left| ( x,~y) \in m _ {b} \right. \right\} \subset S $$

라 하자.

(1) 두 개의 서로 다른 실수 $ a,~a ' $에 대하여, $ L _ {a} ,~L _ {a ' } $은 꼬인 위치에 있는 직선임을 설명하라. 두 개의 서로 다른 실수 $ b,~b ' $에 대하여, $ M _ {b} $와 $ M _ {b ' } $도 역시 꼬인 위치에 있는 직선임을 설명하라.

 

(2) 임의의 실수 $ a,~b $에 대하여 $ L _ {a} ,~M _ {b} $는 한 점에서 만남을 설명하라.

 

(3) $ S $는 직선 $ L _ {a} ~ ( a \in \mathbb R) $들의 합집합임을 설명하라. $ M _ {b} ~ ( b \in \mathbb R) $들의 합집합도 $ S $임을 설명하라. 즉,

$$ S= \bigcup _ {a \in \mathbb {R}} ^ {} L _ {a} = \bigcup _ {b \in \mathbb{R}} ^ {} M _ {b} $$

임을 설명하라.

 

5-3. 직선 $ N \subset R ^ {3} $과 $ x,~y,~z $에 관한 2차 다항식 $ F ( x,~y,~z) $의 궤적

$$ \left\{ T= ( p _ {1} ,~p _ {2} ,~p _ {3} ) \in \mathbb R ^ {3} ~|~F ( p _ {1} ,~p _ {2} ,~p _ {3} )=0 \right\} $$

에 대하여, $ N $ 위의 3개의 점이 $ T $에 포함되면, $ T $는 직선 $ N $을 포함함을 증명하라. (여기서, $ x,~y,~z $에 관한 2차 다항식이란, $ \sum\limits _ {0 \leq r+s+t \leq 2} ^ {} a _ {r,s,t} x ^ {r} y ^ {s} z ^ {t} $의 꼴을 가지며($ a _ {r,s,t} $는 실수), $ r+s+t=2 $인 어떤 음이 아닌 정수들 $ r,s,t $에 대하여, $ a _ {r,s,t} \neq 0 $임을 뜻한다. 예로서, $ xy-z $, $ 1+x+y+z+xy+yz $등은 2차 다항식이나 $ 1+x+y+xy+x ^ {2} z $는 2차 다항식이 아니다.)

 

5-4. $ a _ {1} ,a _ {2} ,a _ {3} $는 주어진 서로 다른 실수이고, 3개의 직선 $ L _ {a _ {1} } ,~L _ {a _ {2} } ,~L _ {a _ {3} } \subset S $에서 각기 3개씩, 모두 9개의 점들을 선택하였다.; $ L _ {a _ {1} } ,~L _ {a _ {2} } ,~L _ {a _ {3} } $는 2-2에서 정의된 $ S $위에 있는 서로 꼬인 위치에 있는 3개의 직선이다. $ x,y,z $에 관한 2차 다항식 $ F ( x,y,z) $의 궤적

$$ T= \left\{ ( p _ {1} ,p _ {2} ,p _ {3} ) \in R ^ {3} |F ( p _ {1} ,p _ {2} ,p _ {3} )=0 \right\} $$

이 선택된 9개의 점들을 포함한다면,

(1) $ T $는 $ S $를 포함함을 증명하라.

(2) $ T=S $임을 증명하라.

 

 

[문제6]

임의의 함수 $ y=f ( x) $에 대해 $ x _ {1} <x _ {2} <x _ {3} $일 때, $ ( x _ {1} ,x _ {3} ) $구간에서의 2계 평균변화율을 다음과 같이 정의한다.

$$ \frac {1} {x _ {3} -x _ {1} } \left\{ \frac {y _ {3} -y _ {2} } {x _ {3} -x _ {2} } - \frac {y _ {2} -y _ {1} } {x _ {2} -x _ {1} } \right\} $$

 

(1) $ x _ {1} =x _ {2} -h=x _ {3} -2h $의 관계가 성립하는 $ x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} $에 대해 $ \lim\limits _ {h \rightarrow 0} {} $일 때, $ x _ {2} $에서의 2계 평균변화율은 어떤 값이 되겠는가?

 

(2) 이차함수 $ y=ax ^ {2} +bx+c $에 대해 2계 평균변화율은 $ a,~b,~c $와 어떤 관계를 갖는지 설명하여라.

 

(3) 위 (2)에서 구한 결과와 직선의 방정식을 이용하여 세점 $ ( x _ {1} ,~y _ {1} ) $, $ ( x _ {2} ,~y _ {2} ) $, $ ( x _ {3} ,~y _ {3} ) $을 지나는 이차함수의 식을 구하여라. (단, $ y=ax ^ {2} +bx+c $에 세점을 대입하여 연립방정식으로 풀면 안 된다.)

 

(4) 위 과정을 토대로 $ ( x _ {1} ,~y _ {1} ) $, $ ( x _ {2} ,~y _ {2} ) $, $ ( x _ {31} ,~y _ {3} ) $, $ ( x _ {4} ,~y _ {4} ) $을 지나는 삼차함수의 식은 어떻게 구할 수 있을지 설명하여라.

 

 

[문제7]

(1) 서로 수직인 세 단위벡터 $ \overrightarrow {e _ {1} } ,~ \overrightarrow {e _ {2} } ,~ \overrightarrow {e _ {3} } $를 $ \overrightarrow {e _ {3} } $를 기준으로 반시계방향으로 $ 30 ^{\circ } $씩 회전시킨 벡터를 각각 $ \overrightarrow {e _ {1} ' } ,~ \overrightarrow {e _ {2} ' } ,~ \overrightarrow {e _ {3} ' } $라 할 때, 벡터 $ \overrightarrow {e _ {1} ' } ,~ \overrightarrow {e _ {2} ' } ,~ \overrightarrow {e _ {3} ' } $를 구하시오.

(2) $ zx $평면 위의 $ \overrightarrow {A} $를, $ \overrightarrow {e _ {3} } $를 기준으로 반시계방향으로 $ 30 ^{\circ } $만큼 회전시킨 벡터를 $ \overrightarrow {A ' } $라 할 때, 벡터 $ \overrightarrow {A ' } $를 구하시오.(단, $ | \overrightarrow {A} |=2 $)

 

(3)

$ \overrightarrow {N} = \frac {1} {\sqrt {2} } ( \overrightarrow {e _ {2} } + \overrightarrow {e _ {3} } ) $라고 하자.

① $ \overrightarrow {N} $과 $ \overrightarrow {e _ {1} } $에 모두 수직인 단위벡터를 구하시오.

② $ \overrightarrow {e _ {1} } $를 $ \overrightarrow {N} $을 기준으로 반시계방향으로 $ 30 ^{\circ } $회전시킨 $ \overrightarrow {e _ {1} ' } $를 구하시오.

③ 일반적인 벡터 $ \overrightarrow {v} $를 $ \overrightarrow {N} $을 기준으로 반시계방향으로 $ 30 ^{\circ } $만큼 회전시킨 $ \overrightarrow {v ' } $를 구하는 방법을 설명하시오.

 

 

[문제8]

(1) 복소평면에서 두 복소수 $ z _ {1} =x _ {1} +y _ {1} i $, $ z _ {2} =x _ {2} +y _ {2} i $가 평행사변형을 이룰 때, 크기가 $ 1 $인 복소수를 곱하는 방법으로 평행사변형의 넓이를 구하여라.(단, 반드시 크기가 $ 1 $인 복소수를 곱하는 방법으로 설명하여라.)

 

(2) 두 복소수 $ z _ {1} =x _ {1} +y _ {1} i $, $ z _ {2} =x _ {2} +y _ {2} i $에 대하여 $ \overline {z _ {1} } z _ {2} $의 실수부분과 허수부분의 기하학적 의미를 말하여라.

 

[문제9]

복소수 $ z=a+bi $를 좌표평면 $ ( a,~b) $에 오른쪽 그림과 같이 대응 시키고, $ |z| $, $ arg ( z) $을 $ |z|= \overline {OP} $, $ arg ( z)= \angle POA $로 정의하자. 또, 복소수 $ z $에 대하여 $ \ln z=\ln |z|+iarg ( z) $로 정의하고, 실수 $ a $에 대하여 $ a ^ {\alpha } =e ^ {\alpha \ln a} $인 것처럼 복소수 $ z $에 대해서도 $ z ^ {\alpha } =e ^ {\alpha \ln z} $로 정의하자. ($ \alpha $는 복소수)

(1) $ e ^ {i ( \theta +2k \pi ) } =\cos \theta +i\sin \theta $임을 보여라.(단, $ 0 \leq \theta \leq 2 \pi $, $ k $는 정수)

(2) 복소수 $ z=\cos \theta +i\sin \theta $, $ \alpha = \frac {1} {2} +i $로 정의하고, 복소수 $ z ^ {\alpha } $를 다음과 같이 $ \theta $에 관한 함수로 대응시키자.

$$ e ( \theta )= \left\{ ( f ( \theta ),~g ( \theta ))~|~f ( \theta )=Re ( z ^ {\alpha } ),~g ( \theta )=Im ( z ^ {\alpha } ),~0 \leq \theta \leq \pi \right\} $$

① $ e ( \theta ) $를 구하여라.

② $ e ( \theta ) $의 그래프의 개형을 구하여라.

 

(3) 이제 $ e ' \left ( \frac {\pi } {2} \right ) $를 다음과 같이 정의하자.

$ \left . \left . \lim\limits _ {x \rightarrow \frac {\pi } {2} } { \frac {e \left ( \frac {\pi } {2} \right ) -e ( x)} { \frac {\pi } {2} -x} = \left\{ \left ( \lim\limits _ {x \rightarrow \frac {\pi } {2} } { \frac {f \left ( \frac {\pi } {2} \right ) -f ( x)} { \frac {\pi } {2} -x} ,~ \lim\limits _ {x \rightarrow \frac {\pi } {2} } {\left . \frac {g \left ( \frac {\pi } {2} \right ) -g ( x)} { \frac {\pi } {2} -x} \right )} } \right . \right .} \right | e ( x),~f ( x),~g ( x)는~(2)번~그대로 \right\} $

(1) $ e ' \left ( \frac {\pi } {2} \right ) $가 의미하는 것이 무엇인가? (예를 들어 $ e ( x) $의 법선벡터)

(2) $ e ' \left ( \frac {\pi } {2} \right ) $를 구체적으로 구하여라.

(3) 위를 이용하여 접선의 방정식을 구하여라.