[서울대 심층면접] 2008학년도 서울대 심층면접

[문제1]

(1). 양수 $a,~b,~c$에 대하여 $$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \left ( a ^ {n} +b ^ {n} +c ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } = A$$ 인 극한값 $A$를 구하라.

 

(2). $$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {\left ( 1+ \left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -1} {\left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} } =0}$$ 임을 보이고 $$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {~n ^ {k} \frac {\left ( 1+ \left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -1} {\left ( \frac {1} {2} \right ) ^ {n} } }$$ 가 $0$이 아닌 극한값을 가지는 $k>0$를 구하라.

(참고: 만일 $0<a<1$이면 $1+ax- \frac {1} {2} a ( 1-a)x ^ {2} \leq ( 1+x) ^ {a} \leq 1+ax$이다.)

 

(3). $0<a<b<c$일 때 $$\lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {\left ( a ^ {n} +b ^ {n} +c ^ {n} \right ) ^ { \frac {1} {n} } -A} {B _ {n} } }$$ 이 $0$이 아닌 극한값을 가지는 수열 $B _ {n} = \frac {1} {n} r ^ {n}$에서 상수 $r$을 구하라.

 

 

[문제2]

(1) 좌표평면 상의 구간 $[a,b]$에서 정의된 직선 $f ( x)$가 있다. 이것의 길이를 평균값의 정리를 활용해 나타내어라.

 

(2) 구간 $[a,~b]$에서 정의된 곡선 $f ( x)$의 길이는 다음과 같이 근사시킬 수 있다.

$$L \approx \int _ {a} ^ {b} {} \sqrt {1+ \left\{ f ' ( x) \right\} ^ {2} } dx$$

평균값의 정리를 활용해 위 식을 유도하고 그 과정을 설명하시오.

 

(3) 좌표평면 위에 $$y=\frac{e^x +e^-x}{2} -1$$ 인 곡선과 반지름이 $\frac {3} {8 \pi }$인 원이 다음과 같이 원점에서 접하도록 위치해 있다. 원 위의 점 $P$가 현재 원점에 있고, 원이 곡선과 접하면서 오른쪽으로 미끄러짐 없이 굴러 올라간다. $P$가 다시 곡선과 최초로 만났을 때의 원의 중심의 좌표를 구하여라.

 

 

 

 

[서울대 2008학년도 특기자 의대]

[문제3]

$$x _ {1} =a,~x _ {n+1} = \frac {1} {2} x _ {n} +x _ {n} ^ {b} ~(a,~b>0 )$$ 인 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$이 있다.

(1) $a$에 따라 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$의 극한값이 2개 이상 존재하는 $b$의 값의 범위를 구하여라.

 

(2) $0<a< \frac {1} {2}$이고 $b=2$일 때, 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$의 극한값이 0이 됨을 설명하고 무한급수 $\sum\limits _ {n=1} ^ {\infty } x _ {n}$은 수렴함을 보여라. (참고 : 어떤 수열이 증가 또는 감소수열이면서, 그 범위가 한정되어 있다면 이 수열은 수렴하는 성질이 있다.)

 

(3) $0<b<1$일 때, 수열 $\left\{ x _ {n} \right\}$의 극한값이 0이 아님을 보여라.

 

 

[문제4] 좌표공간 상의 $\overrightarrow {X} = ( x,~y,~z)$ 위치에 있는 아주 작은 입자가 운동할 때 입자의 속도 $\overrightarrow {V}$는 $\overrightarrow {V} = ( x,~y,~z)$로 주어진다. $S _ {r}$은 중심이 원점이고 반지름이 $r$인 구이다.

 

(1) 시각 $t=0$에서 $S _ {r}$ 위의 한 점 $( x _ {0} ,~y _ {0} ,~z _ {0} )$에서 출발한 입자의 시각 $t$일 때의 위치를 $t$의 함수로 구하여라.

 

(2) $S _ {r}$의 내부를 균일하고 매우 조밀하게 채우고 있는 입자들을 생각하자. $t$초 후 $S _ {r}$을 빠져나간 입자들은 어떤 입체를 이루는지 설명하여라. 이 $S _ {r}$을 빠져나간 입자들이 점유하고 있는 공간의 부피 $f ( t)$를 구하여라.

 

(3) $f ( t)$의 $t=0$에서의 순간변화율을 구하여라.

 

(4) $t$초 후 $S _ {r}$을 빠져나간 입자들이 평면 $x=1$과 만나는 영역의 넓이를 $A ( t)$라 할 때, $A ( t)$를 구하여라. 또, $A ( t)$의 $t=1$에서의 순간변화율을 구하여라.(단, $r \geq 1$)

 

 

[서울대 2008학년도 특기자 의대]

[문제5] 타원 $\frac {x ^ {2} } {4} +y ^ {2} =1$ 위의 점 $X$에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 타원 외부의 점 $Q$와 점 $Q$에서 타원까지의 거리가 최소가 되는 점 $X$에 대하여 $\overline {QX}$는 에서의 접선과 수직임을 설명하여라.

 

(2) $X$가 타원 위를 움직일 때, 임의의 단위벡터 $\overrightarrow {N} ( x)$를 더해 새로운 벡터를 만든다. ($\overrightarrow {P} = \overrightarrow {X} + \overrightarrow {N} ( X)$)

이 때, $\overrightarrow {P}$의 넓이가 최대가 되게 하는 $\overrightarrow {N} ( X)$에 대하여 설명하여라.

 

(3) 위의 $\overrightarrow {N} ( X)$의 자취의 길이를 구하여라.

 

(4) 위의 $\overrightarrow {N} ( X)$에 대하여 $\overrightarrow {P} = \overrightarrow {X} +t \overrightarrow {N} ( X)$라고 할 때 $\overrightarrow {P}$의 자취가 축과 만나는 두 점 사이의 거리가 1이 되도록 축소시킨 도형을 벡터로 표현하여라. 이 때 $t \rightarrow \infty$이면 그 자취는 무엇이 되는가?

 

 

[문제6]

평면도형이 이루는 각은 [그림 1]과 같이 $O$점에서 반지름이 $1$인 단위원을 그렸을 때 원상에 투영된 호의 길이와 같다. 마찬가지로 $3$차원 공간상에서 $O$점으로부터 바라본 물체의 각은 [그림 2]와 같이 $O$점을 중심으로 반지름이 $1$인 단위구$S$를 그렸을 때 이 구상에 투영된 상의 넓이를 말한다.

(1) $O$ 점에서 구 $S$에 접하는 평면을 바라본 각도는?

(2) 직각 육면체의 꼭지점에서 직각 육면체를 바라본 각은?

(3) $O$점에서 바라본 삼각뿔의 각은?

(4) 아래 그림의 정육면체에서 변$AB$를 $A$가 고정된 상태에서 평면 $ABCD$를 따라 기울여 아래의 오른쪽 그림과 같이 평행육면체를 만들고자 한다. $A$에서 평행육면체를 바라본 각이 $\frac {\pi } {6}$가 되었을 때, $AB$와 $CD$가 이루는 각은?

 

 

[2008 서울대 정시 논술]

[문제7] $( 1+x) ^ { \frac {1} {4} }$의 근사식을 찾아보려고 한다.

(1) 평균값의 정리를 이용하여 $|x| \leq \frac {1} {2}$일 때 부등식 $| ( 1+x) ^ { \frac {1} {4} } -1| \leq \frac {|x|} {2}$가 성립함을 설명하여라.

(2) $|x| \leq \frac {1} {2}$일 때 부등식 $\left | ( 1+x) ^ { \frac {1} {4} } - \left ( 1+ \frac {1} {4} x \right ) \right | \leq \frac {3} {4} x ^ {2}$이 성립함을 설명하여라.

 

 

[문제8] $x,~y,~z$에 관한 2차 다항식이란, $\sum\limits _ {0 \leq r+s+t \leq 2} ^ {} a _ {r,s,t} x ^ {r} y ^ {s} z ^ {t}$의 꼴을 가지며($a _ {r,s,t}$는 실수), $r+s+t=2$인 어떤 음이 아닌 정수들 $r,s,t$에 대하여, $a _ {r,s,t} \neq 0$임을 뜻한다. 예로서, $xy-z$, $1+x+y+z+xy+yz$등은 2차 다항식이나 $1+x+y+xy+x ^ {2} z$는 2차 다항식이 아니다.

(1) $x$에 관한 $n$차 다항식 $P ( x)$와 $Q ( x)$에 대하여 $$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{P(x)-Q(x)}{x^n}=0$$ 일 때, $P ( x)=Q ( x)$임을 증명하시오.

 

(2) $$P ( x,~y)=a _ {0} +a _ {1} x+a _ {2} y+a _ {3} x ^ {2} +a _ {4} xy\\ Q ( x,~y)=b _ {0} +b _ {1} x+b _ {2} y+b _ {3} x ^ {2} +b _ {4} xy$$

에 대하여 $\lim\limits _ { ( x,~y) \rightarrow ( 0,~0)} { \frac {P ( x,~y)-Q ( x,~y)} {x ^ {2} +y ^ {2} } =0}$일 때, $P ( x,y)=Q ( x,y)$임을 증명하시오. (참고, $( x,~y) \rightarrow ( 0,~0)$은 평면 위의 임의의 곡선 위에서 $( 0,~0)$으로 접근할 때, 그 극한값이 일정할 때 정의될 수 있다.)

 

(3) $n$차 다항식 $P ( x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ,~ \cdots ,~x _ {n} )$과 $Q ( x _ {1} ,~x _ {2} ,~x _ {3} ,~ \cdots ,~x _ {n} )$에 대하여 서로 같을 조건을 추론하시오.

 

(4) 일차식 $P ( x,~y)$와 $Q ( x,~y)$에 대하여 $P ( x,~y)-Q ( x,~y)=0$을 만족하는 근 $3$개가 서로 같은 직선 상에 있지 않으면 $P ( x,~y)=Q ( x,~y)$임을 보이시오.

 

(5) 일차식 $P ( x,~y)$와 $Q ( x,~y)$에 대하여 $P ( x,~y)-Q ( x,~y)=0$을 만족하는 근 $4$개가 서로 같은 직선 위에 있지 않으면 $P ( x,~y)=Q ( x,~y)$이라 할 수 있는가? 맞는다면 증명하고 틀리면 반례를 보이시오.