[연세대 수리논술]2018학년도 연세대 수리논술

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[연세대 수리논술]2018학년도 연세대 수리논술

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

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좌표평면 위의 세 점 $( 1,~0),~ ( 0,~1),~ ( -1,~0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 주어져 있다. 타원 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2} =1$$  은 주어진 삼각형에 내접해 있다. 이 타원의 넓이는 $\pi ab$이다.

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[1-1] 제시문의 조건을 만족하는 $a$와 $b$의 관계식과 범위를 구하시오.[5점]

[1-2] 타원의 넓이가 최대가 되도록 하는 $b$의 값을 구하시오.[5점]

[1-3] 타원의 넓이가 $\frac {3} {16} \pi$가 되도록 하는 $a$의 값을 모두 구하시오.[5점]

 

 

[제시문 2]

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함수 $f ( x)$를 다음과 같이 정의하자.

$$f ( x)= { \begin {cases} k ( x-m) ^ {2} ( x-3m) ^ {2} & ( |x-2m| \leq m)\\0 & ( |x-2m|>m)\end {cases} }$$

(단, $k$와 $m$은 양의 실수이다.)

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[2-1] 정적분 $\int _ {0} ^ {1} {} f ( x)dx$의 값을 구하시오.[7점]

[2-2] 닫힌 구간 $[0,~1]$에서 $f ( x)$의 최댓값을 구하시오.[7점]

[3-3] $0<m \leq \frac {1} {4}$일 때, $\int _ {0} ^ {1} {f ( x)dx} = \frac {1} {2018}$이고 닫힌 구간 $[0,~1]$에서 $f ( x)$의 최댓값이 $2018$이 되도록 하는 $k$와 $m$의 값을 구하시오.[7점]

 

 

[제시문 3]

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김연세는 정육면체 모양의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수에 따라 $1$층부터 $10$층 사이을 이동하는 놀이를 한다.

첫 번째 시행에서는 주사위를 던져서 나온 눈의 수와 같은 층으로 간다.

두 번째부터는 다음 규칙에 따라서 놀이가 끝날 때까지 주사위 던지기를 반복 시행한다.

[규칙] 김연세가 $n$층에 있을 때, 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 $m$이라고 하자.

1. $n+m<10$이면 $n+m$ 층으로 간다.

2. $n+m>10$이면 $10- ( n+m-10)$층으로 간다.

3. $n+m=10$이면 놀이가 끝난다.

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[3-1] 주사위를 세 번 이하로 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.[7점]

[3-2] 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝났다고 하자. 놀이가 끝나기 전가지 규칙 $1$만 적용된 경우의 수를 구하시오.[7점]

[3-3] 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.[10점]

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 및 풀이

[1-1] $a^2 =1-2b ~\left( 0<a<1,~0<b < \frac{1}{2} \right)$

[1-2] $b=\frac{1}{3}$

[1-3] $a=\frac{1}{2}$ 또는 $a=\frac{-1+\sqrt{13}}{4}$

[2-1] $$\int_{0}^{1} {f(x)dx} = \begin{cases} \frac{16}{15} km^5 & \left(~0<m \leq \frac{1}{3}\right) \\ \frac{k(1-m)^3 }{15} (36m^2 -21m+3) & \left( \frac{1}{3} <m \leq 1 \right) \\0&(m>1)  \end{cases}$$

[2-2] $$f(x) \leq \begin{cases} km^4 & \left( 0 <m \leq \frac{1}{2} \right) \\ k(1-m)^2 (1-3m)^2 & \left( \frac{1}{2} < m \leq 1 \right) \\0&(m>1) \end{cases}$$

[2-3] $$m=\frac{15}{1009^2 \times 64} ,~k= \frac{1009^2 \times 2^25}{15^4}$$

[3-1] $33$가지

[3-2] $80$가지

[3-3] $167$가지

3-1

(1) 주사위 두 번 던져 놀이가 끝나는 경우 :

첫 번째 나온 눈을 $x$, 두 번째 나온 눈을 $y$라 하면 $1 \leq x,~y \leq 6$인 자연수이다.

$x+y=10$의 해는 $( 4,~6),~ ( 5,~5),~ ( 6,~4)$로 3가지

(2) 주사위를 세 번 던져 놀이가 끝나는 경우

첫 번째 나온 눈을 $x$, 두 번째 나온 눈을 $y$, 세 번째 나온 눈을 $z$라 하면 $1 \leq x,~y,~z \leq 6$

이 경우도 두 가지로 나눌 수 있는데

(i) $x+y<10$

$x+y+z=10$을 만족하는 자연수 해 중 $1 \leq x,~y,~z \leq 6$을 만족하면 된다.

$x=x ' +1,~y=y ' +1,~z=z ' +1$로 놓으면 $$x'+y'+z'=7$$ 을 만족하는 음이아닌 정수해 중 $x ' ,~y ' ,~z ' \leq 5$이하인 해를 구하면 된다. 즉

$( 6,~1,~0)$인 경우의 수는 $3!=6$

$( 7,~0,~0)$인 경우의 수는 $\frac {3!} {2!} =3$

따라서 개수는

$${} _ {3} \mathrm {H} _ {7} - ( 6+3)= _ {9} \mathrm {C} _ {7} -9=36-9=27$$

 

(ii) $x+y>10$

이런 조건에서 있는 층은 $10- ( x+y-10)=20- ( x+y)$이다. 따라서 $z$는 $x+y$를 $10$으로 나눈 나머지가 나와야 10층에 도착한다. 즉

$x+y=11$이면 $z=1$이므로 $( x,~y,~z)$의 개수는 $2 \times 1=2$

$x+y=12$면 $z=2$이이므로 $( x,~y,~z)$의 개수는 $1 \times 1=1$

$\therefore$ $3$가지

(i), (ii)에서 $30$가지

(1), (2)에서 $3+30=33$가지

 

[3-2] 첫 번째, 두 번째, 세 번째, 네 번째 나온 눈을 각각 $x,~y,~z,~w$라 하면 $1 \leq x,~y,~z,~w \leq 6$이다.

주사위를 네 번 던져서 규칙$1$만 적용하여 놀이가 끝났다면 두 조건 $1 \leq x,~y,~z,~w \leq 6$와 $x+y+z+w=10~ \cdots \cdots (\ast)$을 만족하는 자연수의 개수가 구하고자 하는 경우의 수이다.

$$x=x ' +1,~y=y ' +1,~z=z ' +1,~w=w ' +1$$

($0 \leq x ' ,~y ' ,~z ' ,~w ' \leq 5$인 정수)

(*)은

$$x ' +y ' +z ' +w ' =6$$

이 방정식에서 $( 6,~0,~0,~0)$을 배열한 개수를 빼면 된다. 즉,

${} _ {4} \mathrm {H} _ {6} - \frac {4!} {3!} =80$

$\therefore$ $80$가지

 

[3-3]

네 번 던져서 놀이가 끝나는 경우는 다음과 같이 분류할 수 있다.

첫 번째, 두 번째, 세 번째, 네 번째 나온 눈을 각각 $x,~y,~z,~w$라 하면 $1 \leq x,~y,~z,~w \leq 6$이다.

(1) $x+y<10,~x+y+z<10$인 경우

이 경우는 [3-2] 으로 $80$가지이다.

(2) $x+y<10$, $x+y+z>10$인 경우

이 경우 세 번 던진 후의 위치(층)는 $20- ( x+y+z)$이다. 따라서 네 번째 눈은 $x+y+z \equiv a ( mod10)=w$이 될 때 $10$층에 도달한다. 즉

$$20- ( x+y+z)+a=10$$

(i) $x+y=5,~z=6$이면 $w=1$이므로 개수는 $4 \times 1=4$가지

(ii) $x+y=6,~z=5,~6$이면 $w=1$, $w=2$이므로 개수는 $5 \times 2=10$가지

(iii) $x+y=7,~z=4,~5,~6$이면 $w=1,~2,~3$이므로 개수는 $6 \times 3=18$가지

(iv) $x+y=8,~z=3,~4,~5,~6$이면 $w=1,~2,~3,~4$이므로 개수는 $5 \times 4=20$가지

(v) $x+y=9,~z=2,~3,~4,~5,~6$이면 $w=1,~2,~3,~4,~5$이므로 개수는 $4 \times 5=20$가지

따라서 모두 $4+10+18+20+20=72$가지

 

(3) $x+y>10$이면 2번 던진 후의 층은 $20- ( x+y)$이다. 이 때,

(i) $20- ( x+y)+z<10$인 경우

$x+y=11$일 때, $z$값은 존재하지 않으므로 없다.

$x+y=12$인 경우, $z=1$이므로 현재 $9$층에 있다. 따라서 $w=1$이면 게임이 끝난다.

따라서 $1$가지이다.

(ii) $20- ( x+y)+z>10$인 경우,

이 경우 3번째 던진 후의 층의 위치는 $20- ( 20- ( x+y)+z)=x+y-z$이다.

① $x+y=11$이면 $z=2$일 때, 층 위치는 $9$이므로 $w=1$

$z=3$일 때, 층 위치는 $8$이므로 $w=2$

$z=4$일 때, 층 위치는 $7$이므로 $w=3$

$z=5$일 때, 층 위치는 $6$이므로 $w=4$

$z=6$일 때, 층 위치는 $5$이므로 $w=5$

따라서 $x+y=11$인 경우 $( x,~y)= ( 5,~6),~ ( 6,~5)$로 두 가지이므로

$2 \times 5=10$가지

② $x+y=12$이면 $( x,~y)= ( 6,~6)$으로 $1$가지

$z=3$이면 층의 위치는 $9$층이므로 $w=1$

$z=4$이면 층의 위치는 $8$층이므로 $w=2$

$z=5$이면 층의 위치는 $7$층이므로 $w=3$

$z=6$이면 층의 위치는 $6$층이므로 $w=4$

따라서

$1 \times 4=4$가지

 

따라서 모든 경우의 수는 $80+72+1+10+4=167$