[연세대 수리논술]2018학년도 연세대 수리논술

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[연세대 수리논술]2018학년도 연세대 수리논술

※다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

[제시문 1]

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좌표평면 위의 세 점 $ ( 1,~0),~ ( 0,~1),~ ( -1,~0) $을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 주어져 있다. 타원 $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2} =1 $$ 은 주어진 삼각형에 내접해 있다. 이 타원의 넓이는 $ \pi ab $이다.

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[1-1] 제시문의 조건을 만족하는 $ a $와 $ b $의 관계식과 범위를 구하시오.[5점]

[1-2] 타원의 넓이가 최대가 되도록 하는 $ b $의 값을 구하시오.[5점]

[1-3] 타원의 넓이가 $ \frac {3} {16} \pi $가 되도록 하는 $ a $의 값을 모두 구하시오.[5점]

 

 

[제시문 2]

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함수 $ f ( x) $를 다음과 같이 정의하자.

$$ f ( x)= { \begin {cases} k ( x-m) ^ {2} ( x-3m) ^ {2} & ( |x-2m| \leq m)\\0 & ( |x-2m|>m)\end {cases} } $$

(단, $ k $와 $ m $은 양의 실수이다.)

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[2-1] 정적분 $ \int _ {0} ^ {1} {} f ( x)dx $의 값을 구하시오.[7점]

[2-2] 닫힌 구간 $ [0,~1] $에서 $ f ( x) $의 최댓값을 구하시오.[7점]

[3-3] $ 0<m \leq \frac {1} {4} $일 때, $ \int _ {0} ^ {1} {f ( x)dx} = \frac {1} {2018} $이고 닫힌 구간 $ [0,~1] $에서 $ f ( x) $의 최댓값이 $ 2018 $이 되도록 하는 $ k $와 $ m $의 값을 구하시오.[7점]

 

 

[제시문 3]

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김연세는 정육면체 모양의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수에 따라 $ 1 $층부터 $ 10 $층 사이을 이동하는 놀이를 한다.

첫 번째 시행에서는 주사위를 던져서 나온 눈의 수와 같은 층으로 간다.

두 번째부터는 다음 규칙에 따라서 놀이가 끝날 때까지 주사위 던지기를 반복 시행한다.

[규칙] 김연세가 $ n $층에 있을 때, 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 $ m $이라고 하자.

1. $ n+m<10 $이면 $ n+m $ 층으로 간다.

2. $ n+m>10 $이면 $ 10- ( n+m-10) $층으로 간다.

3. $ n+m=10 $이면 놀이가 끝난다.

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[3-1] 주사위를 세 번 이하로 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.[7점]

[3-2] 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝났다고 하자. 놀이가 끝나기 전가지 규칙 $ 1 $만 적용된 경우의 수를 구하시오.[7점]

[3-3] 주사위를 네 번 던져서 놀이가 끝나는 경우의 수를 구하시오.[10점]

 

 

정답 및 풀이를 보려면 아래를 클릭하세요.

 

정답 및 풀이

[1-1] $ a^2 =1-2b ~\left( 0<a<1,~0<b < \frac{1}{2} \right)$

[1-2] $b=\frac{1}{3}$

[1-3] $a=\frac{1}{2}$ 또는 $a=\frac{-1+\sqrt{13}}{4} $

[2-1] $$\int_{0}^{1} {f(x)dx} = \begin{cases} \frac{16}{15} km^5 & \left(~0<m \leq \frac{1}{3}\right) \\ \frac{k(1-m)^3 }{15} (36m^2 -21m+3) & \left( \frac{1}{3} <m \leq 1 \right) \\0&(m>1)  \end{cases}$$

[2-2] $$f(x) \leq \begin{cases} km^4 & \left( 0 <m \leq \frac{1}{2} \right) \\ k(1-m)^2 (1-3m)^2 & \left( \frac{1}{2} < m \leq 1 \right) \\0&(m>1) \end{cases} $$

[2-3] $$m=\frac{15}{1009^2 \times 64} ,~k= \frac{1009^2 \times 2^25}{15^4}$$

[3-1] $33$가지

[3-2] $80$가지

[3-3] $167$가지

3-1

(1) 주사위 두 번 던져 놀이가 끝나는 경우 :

첫 번째 나온 눈을 $ x $, 두 번째 나온 눈을 $ y $라 하면 $ 1 \leq x,~y \leq 6 $인 자연수이다.

$ x+y=10 $의 해는 $ ( 4,~6),~ ( 5,~5),~ ( 6,~4) $로 3가지

(2) 주사위를 세 번 던져 놀이가 끝나는 경우

첫 번째 나온 눈을 $ x $, 두 번째 나온 눈을 $ y $, 세 번째 나온 눈을 $ z $라 하면 $ 1 \leq x,~y,~z \leq 6 $

이 경우도 두 가지로 나눌 수 있는데

(i) $ x+y<10 $

$ x+y+z=10 $을 만족하는 자연수 해 중 $ 1 \leq x,~y,~z \leq 6 $을 만족하면 된다.

$ x=x ' +1,~y=y ' +1,~z=z ' +1 $로 놓으면 $$x'+y'+z'=7 $$을 만족하는 음이아닌 정수해 중 $ x ' ,~y ' ,~z ' \leq 5 $이하인 해를 구하면 된다. 즉

$ ( 6,~1,~0) $인 경우의 수는 $ 3!=6 $

$ ( 7,~0,~0) $인 경우의 수는 $ \frac {3!} {2!} =3 $

따라서 개수는

$$ {} _ {3} \mathrm {H} _ {7} - ( 6+3)= _ {9} \mathrm {C} _ {7} -9=36-9=27 $$

 

(ii) $ x+y>10 $

이런 조건에서 있는 층은 $ 10- ( x+y-10)=20- ( x+y) $이다. 따라서 $ z $는 $ x+y $를 $ 10 $으로 나눈 나머지가 나와야 10층에 도착한다. 즉

$ x+y=11 $이면 $ z=1 $이므로 $ ( x,~y,~z) $의 개수는 $ 2 \times 1=2 $

$ x+y=12 $면 $ z=2 $이이므로 $ ( x,~y,~z) $의 개수는 $ 1 \times 1=1 $

$ \therefore $ $ 3 $가지

(i), (ii)에서 $ 30 $가지

(1), (2)에서 $ 3+30=33 $가지

 

[3-2] 첫 번째, 두 번째, 세 번째, 네 번째 나온 눈을 각각 $ x,~y,~z,~w $라 하면 $ 1 \leq x,~y,~z,~w \leq 6 $이다.

주사위를 네 번 던져서 규칙$ 1 $만 적용하여 놀이가 끝났다면 두 조건 $ 1 \leq x,~y,~z,~w \leq 6 $와 $ x+y+z+w=10~ \cdots \cdots (\ast) $을 만족하는 자연수의 개수가 구하고자 하는 경우의 수이다.

$$ x=x ' +1,~y=y ' +1,~z=z ' +1,~w=w ' +1 $$

($ 0 \leq x ' ,~y ' ,~z ' ,~w ' \leq 5 $인 정수)

(*)은

$$ x ' +y ' +z ' +w ' =6 $$

이 방정식에서 $ ( 6,~0,~0,~0) $을 배열한 개수를 빼면 된다. 즉,

$ {} _ {4} \mathrm {H} _ {6} - \frac {4!} {3!} =80 $

$ \therefore $ $ 80 $가지

 

[3-3]

네 번 던져서 놀이가 끝나는 경우는 다음과 같이 분류할 수 있다.

첫 번째, 두 번째, 세 번째, 네 번째 나온 눈을 각각 $ x,~y,~z,~w $라 하면 $ 1 \leq x,~y,~z,~w \leq 6 $이다.

(1) $ x+y<10,~x+y+z<10 $인 경우

이 경우는 [3-2] 으로 $ 80 $가지이다.

(2) $ x+y<10 $, $ x+y+z>10 $인 경우

이 경우 세 번 던진 후의 위치(층)는 $ 20- ( x+y+z) $이다. 따라서 네 번째 눈은 $ x+y+z \equiv a ( mod10)=w $이 될 때 $ 10 $층에 도달한다. 즉

$$ 20- ( x+y+z)+a=10 $$

(i) $ x+y=5,~z=6 $이면 $ w=1 $이므로 개수는 $ 4 \times 1=4 $가지

(ii) $ x+y=6,~z=5,~6 $이면 $ w=1 $, $ w=2 $이므로 개수는 $ 5 \times 2=10 $가지

(iii) $ x+y=7,~z=4,~5,~6 $이면 $ w=1,~2,~3 $이므로 개수는 $ 6 \times 3=18 $가지

(iv) $ x+y=8,~z=3,~4,~5,~6 $이면 $ w=1,~2,~3,~4 $이므로 개수는 $ 5 \times 4=20 $가지

(v) $ x+y=9,~z=2,~3,~4,~5,~6 $이면 $ w=1,~2,~3,~4,~5 $이므로 개수는 $ 4 \times 5=20 $가지

따라서 모두 $ 4+10+18+20+20=72 $가지

 

(3) $ x+y>10 $이면 2번 던진 후의 층은 $ 20- ( x+y) $이다. 이 때,

(i) $ 20- ( x+y)+z<10 $인 경우

$ x+y=11 $일 때, $ z $값은 존재하지 않으므로 없다.

$ x+y=12 $인 경우, $ z=1 $이므로 현재 $ 9 $층에 있다. 따라서 $ w=1 $이면 게임이 끝난다.

따라서 $ 1 $가지이다.

(ii) $ 20- ( x+y)+z>10 $인 경우,

이 경우 3번째 던진 후의 층의 위치는 $ 20- ( 20- ( x+y)+z)=x+y-z $이다.

① $ x+y=11 $이면 $ z=2 $일 때, 층 위치는 $ 9 $이므로 $ w=1 $

$ z=3 $일 때, 층 위치는 $ 8 $이므로 $ w=2 $

$ z=4 $일 때, 층 위치는 $ 7 $이므로 $ w=3 $

$ z=5 $일 때, 층 위치는 $ 6 $이므로 $ w=4 $

$ z=6 $일 때, 층 위치는 $ 5 $이므로 $ w=5 $

따라서 $ x+y=11 $인 경우 $ ( x,~y)= ( 5,~6),~ ( 6,~5) $로 두 가지이므로

$ 2 \times 5=10 $가지

② $ x+y=12 $이면 $ ( x,~y)= ( 6,~6) $으로 $ 1 $가지

$ z=3 $이면 층의 위치는 $ 9 $층이므로 $ w=1 $

$ z=4 $이면 층의 위치는 $ 8 $층이므로 $ w=2 $

$ z=5 $이면 층의 위치는 $ 7 $층이므로 $ w=3 $

$ z=6 $이면 층의 위치는 $ 6 $층이므로 $ w=4 $

따라서

$ 1 \times 4=4 $가지

 

따라서 모든 경우의 수는 $ 80+72+1+10+4=167 $