[2018 수능 기출] 2018학년도 수능 나형 29번

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[2018 수능 기출] 2018학년도 수능 나형 29번

 

두 실수 $a$와 $k$에 대하여 두 함수 $f \left ( x \right )$와 $g \left ( x \right )$는

$$\begin{align} f \left ( x \right ) &= \begin {cases} 0~ & \left ( x \leq a \right )\\ \left ( x-1 \right ) ^ {2} \left ( 2x+1 \right ) ~~ & \left ( x>a \right )\end {cases} ,\\ g \left ( x \right ) &= \begin {cases} 0 & \left ( x \leq k \right )\\12 \left ( x-k \right ) ~~ & \left ( x>k \right )\end {cases} \end{align}$$

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f \left ( x \right )$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f \left ( x \right ) \geq g \left ( x \right )$이다.

 

$k$의 최솟값이 $\frac {q} {p}$일 때, $a+p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

 

 

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정답 32

[출제의도] 미분가능성을 이해하고 있으며 미분을 이용하여 부등식에 관련된 문제를 해결할 수 있는가?

힘수 $f ( x)$는 $x<a$, $x>a$일 때, 다항함수이므로 이 범위에서 미분가능하다.

한편, 조건 (가)에서 함수 $f ( x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능해야 하므로 함수 $f ( x)$는 $x=a$에서 미분가능해야 한다. 즉,

$$\lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} = \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } }$$ 이어야 한다.

이때,

$$\lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} = \lim\limits _ {x \rightarrow a-} { \frac {0-0} {x-a} } =0} ~\cdots \cdots (\ast)$$

또, $$\lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } = \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)} {x-a} }$$

여기서 $x \rightarrow a+$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고, 극한값이 존재해야 하므로 (분자)$\rightarrow 0$에서

$$\lim\limits _ {x \rightarrow a+} { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)=0} ,$$

$$( a-1) ^ {2} ( 2a+1)=0$$

$\therefore~ a=- \frac {1} {2}$ 또는 $a=1$

(ⅰ) $a=- \frac {1} {2}$일 때,

$$\begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } &= \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {1} {2} +} { \frac { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)} {x- \left ( - \frac {1} {2} \right )} } \\& = \lim\limits _ {x \rightarrow - \frac {1} {2} +} {2 ( x-1) ^ {2} } \\&= \frac {9} {2} \end{align}$$

이 값은 ($\ast$) 의 값과 다르므로 $a=- \frac {1} {2}$일 때 함수 $f ( x)$는 미분가능하지 않다.

(ⅱ) $a=1$일 때,

$$\begin{align} \lim\limits _ {x \rightarrow a+} { \frac {f ( x)-f ( a)} {x-a} } & = \lim\limits _ {x \rightarrow 1+} { \frac { ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)} {x-1} } \\&= \lim\limits _ {x \rightarrow 1+} { ( x-1) ( 2x+1)} \\&=0 \end{align}$$

이 값은 ($\ast$)의 값과 같으므로 $a=1$일 때 함수 $f ( x)$는 미분가능하다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 $a=1$이다.

한편, 조건 (나)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f ( x) \geq g ( x)$이어야하므로 함수 $y=f ( x)$의 그래프는 함수 $y=g ( x)$의 그래프보다 위쪽에 있거나 접해야 한다.

$x>1$일 때, 함수 $f ( x)= ( x-1) ^ {2} ( 2x+1)$와 접하고 기울기가 $12$인 접선의 접점을 $\left ( m,~f ( m) \right )$ ($m>1$)라 하자.

$$\begin{align}f ' \left ( x \right ) & = \left\{ ( x-1) ^ {2} \right\} ' ( 2x+1)+ ( x-1) ^ {2} ( 2x+1) ' \\&=2 ( x-1) ( 2x+1)+2 ( x-1) ^ {2} = ( x-1) \left\{ ( 4x+2)+ ( 2x-2) \right\} \\& =6x ( x-1) \end{align}$$

이때, 접선의 기울기가 $12$이므로

$6m ( m-1)=12$, $m ^ {2} -m-2=0$ , $( m+1) ( m-2)=0$

$\therefore~m=-1$ 또는 $m=2$

이때, $m>1$이므로 $m=2$

그러므로 접선의 방정식은

$$y-5=12 ( x-2) ,~y=12x-19$$

$$y=12 \left ( x- \frac {19} {12} \right )$$

따라서 $k \geq \frac {19} {12}$이므로 $k$의 최솟값은 $\frac {19} {12}$이다.

그러므로 $a+p+q=1+12+19=32$