[평가원 기출] 2015학년도 나형 6월 30번

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[평가원 기출] 2015학년도 나형 6월 30번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $ f ( x) $가 다음 조건을 만족시킨다.

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(가) 모든 실수 $ x $에 대하여 $ 1 \leq f ' ( x) \leq 3 $이다.

(나) 모든 정수 $ n $에 대하여 함수 $ y=f ( x) $의 그래프는점 $ ( 4n,~8n) $, 점 $ ( 4n+1,~8n+2) $, 점 $ ( 4n+2,~8n+5), $ 점 $ ( 4n+3,~8n+7) $을 모두 지난다.

(다) 모든 정수 $ k $에 대하여 닫힌구간 $ [2k,~2k+1] $에서 함수 $ f ( x) $의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.

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$ \int _ {3} ^ {6} {f ( x)dx=a} $라 할 때, $ 6a $의 값을 구하시오. [4점][2014년 6월]

 

 

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정답 및 풀이

정답 167

함수 $ f ( x) $가 $ ( 3,~7),~ ( 4,~8),~ ( 5,~10),~ ( 6,~13) $을 지나고

$ 1 \leq f ' ( x) \leq 3 $이므로

⑴ 두 점 $ ( 3,~7) $, $ ( 4,~8) $의 기울기가 $ 1 $이므로 $ 3 \leq x \leq 4 $에서 $ f ( x)=x+4 $

⑵ 두 점 $ ( 5,~10),~ ( 6,~13) $의 기울기가 $ 3 $이므로

$ 5 \leq x \leq 6 $에서 $ f ( x)=3x-5 $

⑶ 주어진 조건에 의해 $ ( 4,~8) $과 $ ( 5,~10) $을 지나는 함수는 이차함수이고

$$ f ( x)=ax ^ {2} +bx+c $$

$$ f ' ( x)=2ax+b $$

실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

$$ f ' ( 4)=8a+b=1 $$

$$ f ' ( 5)=-10a+b=3 $$

$$ a=1,~b=-7 $$

$ f ( 4)=8 $에서 $ c=20 $

⑴, ⑵, ⑶에 의해

$$\begin{align} \int _ {3} ^ {6} {f ( x)dx}& = \int _ {3} ^ {4} {} ( x+4)dx+ \int _ {4} ^ {5} {} ( x ^ {2} -7x+20)dx\\&+ \int _ {5} ^ {6} {} ( 3x-5)dx \\& = \frac {167} {6}\end{align} $$

$$ \therefore~ 6a=167 $$