[수학의 기초] 자연상수 $e$ 무리수 증명

1.

$ \displaystyle e^x$이 다음과 같이 표현될 수 있다고 하자.

Taylor Series

$$e ^ {x} =1+ \frac {x} {1!} + \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {n} } {n!} + \cdots$$

여기에 $x=1$을 대입하면

$$ e=1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {n!} + \cdots $$ 

이다.

(1) 다음을 증명하여라.

$$ 0<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {n!} \right ) < \frac {1} {n!n} $$

 

 

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$$\begin{align} 0&<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {n!} \right ) \\& = \frac {1} { ( n+1)!} + \frac {1} { ( n+2)!} + \frac {1} { ( n+3)!} + \cdots \\ & = \frac {1} {n!} \left ( \frac {1} {n+1} + \frac {1} { ( n+1) ( n+2)} + \frac {1} { ( n+1) ( n+2) ( n+3)} + \cdots \right )\\ & < \frac {1} {n!} \left ( \frac {1} {n+1} + \left ( \frac {1} {n+1} \right ) ^ {2} + \left ( \frac {1} {n+1} \right ) ^ {3} + \cdots \right )\\ & = \frac {1} {n!} \frac { \frac {1} {n+1} } {1- \frac {1} {n+1} } = \frac {1} {nn!} \end{align}$$

 

(2) $ \displaystyle e $가 무리수임을 증명하여라.

 

 

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$ \displaystyle e $가 유리수라 가정하자. 그러면 자연상수 $ \displaystyle e$는 정수 $ \displaystyle p~ (\neq 0 ),~q$에 대하여

$$ e= \frac {q} {p} $$

로 적을 수 있다.

$ \displaystyle p! \times e $는 자연수이다. 그런데 (1)의 부등식에서

$$ 0<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {p!} \right ) < \frac {1} {p!p} $$

이 성립하고, 이 부등식의 양변에 $ \displaystyle p! ~( >0) $를 곱하면

$$ 0< \underbrace {p!e-p! \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {p!} \right )}_{\ast\ast} < \frac {1} {p} $$

이다. 그런데 $ \displaystyle \ast\ast$의 정수이고 $$ 0< \frac {1} {p} <1 $$이므로 위의 부등식을 만족하는 정수는 존재하지 않는다.

따라서 $ \displaystyle e $는 무리수이다.

 

 

2. 

$ \displaystyle e ( =2.7182 \cdots ) $를 자연로그의 밑이라 하자.

(1) $ \displaystyle n=1,~2,~3, ~\cdots $에 대하여 함수 $\displaystyle f _ {n} ( x) $를

$$ f _ {n} ( x)=1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {n} } {n!} $$

이라 하자. $ \displaystyle x > 0 $일 때,

$$ f _ {n} ( x)<e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} $$

임을 보여라.

 

(2) $ \displaystyle n=2,~3,~4,~ \cdots $일 때,

$$ 0<n!e- \left\{ n!+1+ ( n+n ( n-1)+n ( n-1) ( n-2)+ \cdots +n!) \right\} <1 $$

임을 보여라.(반드시 (1)을 이용해라.)

 

(3) $ \displaystyle e $는 유리수가 아님을 보여라.

 

 

 

 

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(1)
(a) $$ F _ {n} ( x)=e ^ {x} -f _ {n} ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {n} } {n!} \right ) $$라 두자. 수학적 귀납법으로 $ \displaystyle F _ {n} ( x)>0 $임을 증명하겠다.

(i) $ \displaystyle n=1 $일 때,

$ \displaystyle F _ {1} ( x)=e ^ {x} -f _ {1} ( x)=e ^ {x} - ( 1+x) $에서 $ \displaystyle x>0 $일 때,

$$ F _ {1} ' ( x)=e ^ {x} -1>0 $$이므로 $ F _ {1} ( x) $는 증가함수이다. 또 $ F _ {1} ( 0)=0 $이다. 

따라서 $ \displaystyle x > 0 $일 때 $ \displaystyle F _ {1} ( x)>0 $이다.

(ii) $ \displaystyle n=k $일 때, $$ F _ {k} ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {k} } {k!} \right ) >0 $$라 가정하자.

$$ F _ {k+1} ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {k+1} } { ( k+1)!} \right ) $$를 미분하면

$$ F _ {k+1} ' ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {k} } {k!} \right ) =F _ {k} ( x) $$이고 가정에서 $ \displaystyle F _ {k} ( x)>0 $이므로 $ \displaystyle F _ {k+1} ( x) $는 증가함수이다. 또 $ \displaystyle F _ {k+1} ( 0)=0 $이다. 따라서 $ \displaystyle x>0 $일 때, $ \displaystyle F _ {k+1} ( x)>0 $이다.

(b) 이번엔 $$ e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} ~\cdots\cdots~(\mathrm{i}) $$임을 보이겠다.

$$ G _ {n} ( x)=f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} -e ^ {x} $$이라 할 때, $ \displaystyle (\mathrm{i}) $는 $ \displaystyle x>0 $일 때, $ \displaystyle G _ {n} ( x)>0 $임을 보이는 것과 동치이다.

(i) $ \displaystyle n=1 $일 때, $ \displaystyle G _ {1} ( x)=f _ {1} ( x)+ \left ( \frac {x ^ {2} } {2!} -1 \right ) e ^ {x} $에서

$$ G _ {1} ' ( x)=f _ {1} ' ( x)+xe ^ {x} + \left ( \frac {x ^ {2} } {2} -1 \right ) e ^ {x} $$

$$\begin{align}  G _ {1} '' ( x) & =f _ {1} '' ( x)+e ^ {x} +xe ^ {x} + \left ( \frac {x ^ {2} } {2} -1 \right ) e ^ {x} \\ & =e ^ {x} \left ( x+ \frac {x ^ {2} } {2} \right ) >0  \end{align}$$

이고 $ \displaystyle G _ {1} ' ( 0)=f _ {1} ' ( 0)-1=0 $이므로 $ \displaystyle G _ {1} ' ( x)>0 $이다. 따라서 $ \displaystyle G _ {1} ( x) $는 증가함수이고 $ \displaystyle G _ {1} ( 0)=0 $이므로 $ \displaystyle x>0 $일 때, $ G _ {1} ( x)>0 $이다.

(ii) $ \displaystyle n=k $일 때, $ \displaystyle G _ {k} ( x)=f _ {k} ( x)+ \frac {x ^ {k+1} e ^ {x} } { ( k+1)!} -e ^ {x} >0 $라고 가정하자. 그러면

$ \displaystyle G _ {k+1} ( x)=f _ {k+1} ( x)+ \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} -e ^ {x} $에서 미분하면

$$ \begin{align} G _ {k+1} ' ( x) & =f _ {k+1} ' ( x)+ \frac {x ^ {k+1} e ^ {x} } { ( k+1)!} + \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} -e ^ {x} \\ & = \left\{ f _ {k} ( x)+ \frac {x ^ {k+1} e ^ {x} } { ( k+1)!} -e ^ {x} \right\} + \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} \\ & =G _ {k} ' ( x)+ \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} >0 \end{align}$$

이므로 $ \displaystyle G _ {k+1} ( x) $는 증가함수이다. 또 $ \displaystyle G _ {k+1} ( 0)=f _ {k+1} ( 0)-1=1-1=0 $이다. 따라서 $ \displaystyle x>0 $일 때 $ \displaystyle G _ {k+1} ( x)>0 $이다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 $ \displaystyle x>0 $일 때, $ \displaystyle G _ {n} ( x)>0 $이다. 즉

$$ e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} $$

(a), (b)에 의해

$$ f _ {n} ( x)<e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} ~ (~ x>0 ~) $$

이 성립한다.



(2) (1)식의 $ \displaystyle x $에 1을 대입하면

$$ f _ {n} ( 1)<e<f _ {n} ( 1)+ \frac {e} { ( n+1)!} ~ \cdots \cdots~(\mathrm{iii})$$

이다. 또 모든 변에 $ \displaystyle f _ {n} ( 1) $을 빼고 $ \displaystyle f _ {n} ( 1)=1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \frac {1} {3!} + \cdots + \frac {1} { ( n-1)!} + \frac {1} {n!} $을 대입하면

$$ 0<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \frac {1} {3!} + \cdots + \frac {1} { ( n-1)!} + \frac {1} {n!} \right ) <\frac {e} { ( n+1)!} $$

이다. 여기에 $ \displaystyle n! $를 곱하자. 그러면 $ \displaystyle n \geq 2 $인 정수일 때,

$$ 0<n!e- \left ( n!+ \frac {n!} {1!} + \frac {n!} {2!} + \frac {n!} {3!} + \cdots + \frac {n!} { ( n-1)!} + \frac {n!} {n!} \right ) <\frac {e} { ( n+1)!} \times n! $$

이다. 이를 간단히 하면

$$ 0<n!e- \left ( n!+n!+ \cdots +n ( n-1) ( n-2)+n ( n-1)+n+1 \right ) <\frac {e} { ( n+1)!} \times n!< \frac {e} {3!} <1 $$

이다. 따라서 이것을 재배열하면

$$ 0< \underline {n!e-[n!+1+ \left\{ n+n ( n-1)+n ( n-1) ( n-2)+ \cdots +n! \right\} ]} <1 ~\cdots\cdots ~(\ast)$$

이다.

(3) 귀류법으로 증명하자. 만약 $ \displaystyle e $가 유리수라고 가정하자. 그러면

$ \displaystyle e= \frac {q} {p} $ ($ \displaystyle p,~q $는 정수, $ \displaystyle p \neq 0 $, $ \displaystyle p,~q $는 서로소)라 둘 수 있다. 그리고 $ \displaystyle p!e $는 자연수이므로 그런데 ($ \displaystyle\ast$)식의 $ \displaystyle n $에 $ \displaystyle p $를 대입하면 밑줄 친 부분은 자연수가 된다. 

그러나 $ \displaystyle 0 $과 $ \displaystyle 1 $사이에는 자연수가 존재하지 않는다. 이것은 모순이다. 따라서 $ \displaystyle e $는 유리수가 아니다. 즉 무리수이다.

 

https://youtu.be/-Rp3dpgTl8k