[수학의 기초] 자연상수 $e$ 무리수 증명

1.

$\displaystyle e^x$이 다음과 같이 표현될 수 있다고 하자.

Taylor Series

$$e ^ {x} =1+ \frac {x} {1!} + \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {n} } {n!} + \cdots$$

여기에 $x=1$을 대입하면

$$e=1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {n!} + \cdots$$  

이다.

(1) 다음을 증명하여라.

$$0<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {n!} \right ) < \frac {1} {n!n}$$

 

 

정답 및 풀이을 보려면 아래를 클릭하세요.

 

$$\begin{align} 0&<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {n!} \right ) \\& = \frac {1} { ( n+1)!} + \frac {1} { ( n+2)!} + \frac {1} { ( n+3)!} + \cdots \\ & = \frac {1} {n!} \left ( \frac {1} {n+1} + \frac {1} { ( n+1) ( n+2)} + \frac {1} { ( n+1) ( n+2) ( n+3)} + \cdots \right )\\ & < \frac {1} {n!} \left ( \frac {1} {n+1} + \left ( \frac {1} {n+1} \right ) ^ {2} + \left ( \frac {1} {n+1} \right ) ^ {3} + \cdots \right )\\ & = \frac {1} {n!} \frac { \frac {1} {n+1} } {1- \frac {1} {n+1} } = \frac {1} {nn!} \end{align}$$

 

(2) $\displaystyle e$가 무리수임을 증명하여라.

 

 

정답 및 풀이을 보려면 아래를 클릭하세요.

 

$\displaystyle e$가 유리수라 가정하자. 그러면 자연상수 $\displaystyle e$는 정수 $\displaystyle p~ (\neq 0 ),~q$에 대하여

$$e= \frac {q} {p}$$

로 적을 수 있다.

$\displaystyle p! \times e$는 자연수이다. 그런데 (1)의 부등식에서

$$0<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {p!} \right ) < \frac {1} {p!p}$$

이 성립하고, 이 부등식의 양변에 $ \displaystyle p! ~( >0) $를 곱하면

$$0< \underbrace {p!e-p! \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \cdots + \frac {1} {p!} \right )}_{\ast\ast} < \frac {1} {p}$$

이다. 그런데 $\displaystyle \ast\ast$의 정수이고 $$0< \frac {1} {p} <1$$ 이므로 위의 부등식을 만족하는 정수는 존재하지 않는다.

따라서 $ \displaystyle e $는 무리수이다.

 

 

2. 

$\displaystyle e ( =2.7182 \cdots )$를 자연로그의 밑이라 하자.

(1) $\displaystyle n=1,~2,~3, ~\cdots$에 대하여 함수 $\displaystyle f _ {n} ( x)$를

$$f _ {n} ( x)=1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {n} } {n!}$$

이라 하자. $\displaystyle x > 0$일 때,

$$f _ {n} ( x)<e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!}$$

임을 보여라.

 

(2) $\displaystyle n=2,~3,~4,~ \cdots$일 때,

$$0<n!e- \left\{ n!+1+ ( n+n ( n-1)+n ( n-1) ( n-2)+ \cdots +n!) \right\} <1$$

임을 보여라.(반드시 (1)을 이용해라.)

 

(3) $\displaystyle e$는 유리수가 아님을 보여라.

 

 

 

 

정답 및 풀이을 보려면 아래를 클릭하세요.

 

(1)
(a) $$F _ {n} ( x)=e ^ {x} -f _ {n} ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {n} } {n!} \right )$$ 라 두자. 수학적 귀납법으로 $\displaystyle F _ {n} ( x)>0$임을 증명하겠다.

(i) $\displaystyle n=1$일 때,

$\displaystyle F _ {1} ( x)=e ^ {x} -f _ {1} ( x)=e ^ {x} - ( 1+x)$에서 $\displaystyle x>0$일 때,

$$F _ {1} ' ( x)=e ^ {x} -1>0$$ 이므로 $F _ {1} ( x)$는 증가함수이다. 또 $F _ {1} ( 0)=0$이다. 

따라서 $\displaystyle x > 0$일 때 $\displaystyle F _ {1} ( x)>0$이다.

(ii) $\displaystyle n=k$일 때,  $$F _ {k} ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {k} } {k!} \right ) >0$$ 라 가정하자.

$$F _ {k+1} ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {k+1} } { ( k+1)!} \right )$$ 를 미분하면

$$F _ {k+1} ' ( x)=e ^ {x} - \left ( 1+x+ \frac {x ^ {2} } {2!} + \cdots + \frac {x ^ {k} } {k!} \right ) =F _ {k} ( x)$$ 이고 가정에서 $\displaystyle F _ {k} ( x)>0$이므로 $\displaystyle F _ {k+1} ( x)$는 증가함수이다. 또 $\displaystyle F _ {k+1} ( 0)=0$이다. 따라서 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle F _ {k+1} ( x)>0$이다.

(b) 이번엔  $$e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} ~\cdots\cdots~(\mathrm{i})$$ 임을 보이겠다.

$$G _ {n} ( x)=f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} -e ^ {x}$$ 이라 할 때, $\displaystyle (\mathrm{i})$는 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle G _ {n} ( x)>0$임을 보이는 것과 동치이다.

(i) $\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle G _ {1} ( x)=f _ {1} ( x)+ \left ( \frac {x ^ {2} } {2!} -1 \right ) e ^ {x}$에서

$$G _ {1} ' ( x)=f _ {1} ' ( x)+xe ^ {x} + \left ( \frac {x ^ {2} } {2} -1 \right ) e ^ {x}$$

$$\begin{align}  G _ {1} '' ( x) & =f _ {1} '' ( x)+e ^ {x} +xe ^ {x} + \left ( \frac {x ^ {2} } {2} -1 \right ) e ^ {x} \\ & =e ^ {x} \left ( x+ \frac {x ^ {2} } {2} \right ) >0  \end{align}$$

이고 $\displaystyle G _ {1} ' ( 0)=f _ {1} ' ( 0)-1=0$이므로 $\displaystyle G _ {1} ' ( x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle G _ {1} ( x)$는 증가함수이고 $\displaystyle G _ {1} ( 0)=0$이므로 $\displaystyle x>0$일 때, $G _ {1} ( x)>0$이다.

(ii) $\displaystyle n=k$일 때, $\displaystyle G _ {k} ( x)=f _ {k} ( x)+ \frac {x ^ {k+1} e ^ {x} } { ( k+1)!} -e ^ {x} >0$라고 가정하자. 그러면

$\displaystyle G _ {k+1} ( x)=f _ {k+1} ( x)+ \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} -e ^ {x}$에서 미분하면

$$\begin{align} G _ {k+1} ' ( x) & =f _ {k+1} ' ( x)+ \frac {x ^ {k+1} e ^ {x} } { ( k+1)!} + \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} -e ^ {x} \\ & = \left\{ f _ {k} ( x)+ \frac {x ^ {k+1} e ^ {x} } { ( k+1)!} -e ^ {x} \right\} + \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} \\ & =G _ {k} ' ( x)+ \frac {x ^ {k+2} e ^ {x} } { ( k+2)!} >0 \end{align}$$

이므로 $\displaystyle G _ {k+1} ( x)$는 증가함수이다. 또 $\displaystyle G _ {k+1} ( 0)=f _ {k+1} ( 0)-1=1-1=0$이다. 따라서 $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle G _ {k+1} ( x)>0$이다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle G _ {n} ( x)>0$이다. 즉

$$e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!}$$

(a), (b)에 의해

$$f _ {n} ( x)<e ^ {x} <f _ {n} ( x)+ \frac {x ^ {n+1} e ^ {x} } { ( n+1)!} ~ (~ x>0 ~)$$

이 성립한다.



(2) (1)식의 $\displaystyle x$에 1을 대입하면

$$f _ {n} ( 1)<e<f _ {n} ( 1)+ \frac {e} { ( n+1)!} ~ \cdots \cdots~(\mathrm{iii})$$

이다. 또 모든 변에 $\displaystyle f _ {n} ( 1)$을 빼고 $\displaystyle f _ {n} ( 1)=1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \frac {1} {3!} + \cdots + \frac {1} { ( n-1)!} + \frac {1} {n!}$을 대입하면

$$0<e- \left ( 1+ \frac {1} {1!} + \frac {1} {2!} + \frac {1} {3!} + \cdots + \frac {1} { ( n-1)!} + \frac {1} {n!} \right ) <\frac {e} { ( n+1)!}$$

이다. 여기에 $\displaystyle n!$를 곱하자. 그러면 $\displaystyle n \geq 2$인 정수일 때,

$$0<n!e- \left ( n!+ \frac {n!} {1!} + \frac {n!} {2!} + \frac {n!} {3!} + \cdots + \frac {n!} { ( n-1)!} + \frac {n!} {n!} \right ) <\frac {e} { ( n+1)!} \times n!$$

이다. 이를 간단히 하면

$$0<n!e- \left ( n!+n!+ \cdots +n ( n-1) ( n-2)+n ( n-1)+n+1 \right ) <\frac {e} { ( n+1)!} \times n!< \frac {e} {3!} <1$$

이다. 따라서 이것을 재배열하면

$$0< \underline {n!e-[n!+1+ \left\{ n+n ( n-1)+n ( n-1) ( n-2)+ \cdots +n! \right\} ]} <1 ~\cdots\cdots ~(\ast)$$

이다.

(3) 귀류법으로 증명하자. 만약 $\displaystyle e$가 유리수라고 가정하자. 그러면

$\displaystyle e= \frac {q} {p}$ ($\displaystyle p,~q$는 정수, $\displaystyle p \neq 0$, $\displaystyle p,~q$는 서로소)라 둘 수 있다. 그리고 $\displaystyle p!e$는 자연수이므로 그런데 ($\displaystyle\ast$)식의 $\displaystyle n$에 $\displaystyle p$를 대입하면 밑줄 친 부분은 자연수가 된다. 

그러나 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이에는 자연수가 존재하지 않는다. 이것은 모순이다. 따라서 $\displaystyle e$는 유리수가 아니다. 즉 무리수이다.

 

https://youtu.be/-Rp3dpgTl8k