[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2

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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1

이 과정의 한계지점

(1) 지수보다 수열을 나중에 배움

(2) 수열의 수렴은 미적분과정에서 배움

(3) 단조수렴정리 "증가수열이고 위로 유계면 수렴한다."는 대학과정 혹은 고급수학과정임

 

전편에서 본 위와 같은 한계를 극복하기 위해 대학에서는 먼저 모든 학생들이 이과면 미적분을 배웠기 때문에 $\ln x$를 정적분으로 정의하여 시작한다.

정의1. 자연로그를 다음과 같이 정의한다.

양수 $x>0$에 대하여

$$\ln x =\int_1^x \frac{1}{x}dx$$

* 만약 $x>1$이면 $\ln x$는 $t=1$에서 $t=x$까지 $\frac{1}{x}$와 $x$축 사이의 넓이이다.

* 만약 $0<x<1$이면 $\ln x$는 $t=x$에서 $t=1$까지 $\frac{1}{x}$와 $x$축 사이의 넓이에 $(-)$를 곱한 값이다.

 

로그의 성질을 위의 정의를 이용하여 증명하기 위해서는 다음이 필요하다.

 

보조정리2.

함수 $f$가 어떤 구간에서 정의된 일대일 연속함수라 하면, 그 역함수도 연속함수이다.

* 이 정리는 고교과정을 넘어서므로 그냥 받아들이자.

2022.02.16 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 일대일 대응인 연속함수는 그 역함수도 연속함수이다.

 

정리3.

함수 $f$가 역함수 $g=f^{-1}$를 가지는 미분가능한 함수이고 $f'(g(a)) \neq 0$이면 역함수 $g$도 $x=a$에서 미분가능하고,

$$g'(a)=\frac{1}{f'(g(a))} $$

또는

$$(f^{-1})' (a) = \frac{1}{f'( f^{-1}(a))}$$

증명

도함수의 정의에 의해

$$(f^{-1})' (a) = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(a)}{x-a}$$

이다. 이 극한을 치환하여 함수 $f$의 극한으로 표현하자.

$$f^{-1}(x)=y~~\Longleftrightarrow ~ f(y)=x$$

$$f^{-1}(a)=b~~\Longleftrightarrow ~ f(b)=a$$

함수 $f$가 미분가능하므로 연속이다. 따라서 위의 정리에 의해 $f^-1$도 연속이다. 그러므로 $x \rightarrow a$이면 $f^{-1}(x) \rightarrow f^{-1}(a)$이다. 즉 $y \rightarrow b$이다. 그런데 여기서 $x \ne a$이면 $y \ne b$이다. 왜냐하면 함수 $f$가 역함수를 가지므로 일대일 대응이기 때문이다. 즉 귀류법으로 $y=b$이고 $x \ne a$라면 $1-1$대응이라는 사실과 서로 모순이다.

이제 함수 $f$에 대한 극한으로 바꾸어 증명하자.

$$\begin{align} (f^{-1})' (a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(a)}{x-a}\\&=\lim_{y \rightarrow b}\frac{y-b}{f(y)-f(b)}\\&=\lim_{y \rightarrow b}\frac{1}{\frac{f(y)-f(b)}{y-b}}\\&=\frac{1}{f'(b)}\end{align}$$

 

Note 위의 정리는 라이프니츠의 기호를 써서 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

$f^{-1}(x)=y$이면 $f(y)=x$이므로

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

 

또, 미적분학의 기본정리에 의해 다음을 쉽게(?) 증명할 수 있다.

$$(\ln x)'=\frac{1}{x}$$

증명

$$ (\ln x)' = \frac {d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}dt = \frac{1}{x}$$

 

이제 로그의 성질을 대학과정으로 증명하는 데 도착했다. 

정리 로그의 법칙

양의 실수 $x,~y$와 실수 $r$에 대하여

$$(1)~\ln(xy)=\ln x+\ln y$$

$$(2)~\ln \left(\frac {x}{y} \right)=\ln x-\ln y$$

$$(3)~\ln (x^r )= r \ln x$$

증명

(1) $\left( \ln (ax) \right)'= \frac{1}{x}$를 증명하면서 시작하자.

너무 쉽다고 생각하면 안된다. 고등학교에서 배웠다고 하면 안된다. $\ln x$를 정적분으로 정의하면서 시작하고 있으니 우리가 쓸 수 있는 것은 $$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}dt$$와 미적분학의 기본정리(1)인 $$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt =f(x)$$라는 사실밖에 없다.

$$\begin{align}\left( \ln (ax) \right)' &= \frac{d}{dx} \int_1^{ax} \frac{1} {t}dt=\frac{1}{ax} \times \frac{d}{dx} (ax) \\&=\frac{1}{ax}\times a = \frac{1}{x}\end{align}$$

또,  

$$\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}$$

이므로 $\ln(ax)$와 $\ln x$의 도함수가 서로 같다. 따라서 두 함수는 상수 $C$에 대해 서로 상수차이밖에 없으므로

$$ \ln ax =\ln x +C$$

위의 식에 $x=1$을 대입하면 $\ln 1 =0$이므로(왜?) $\ln a = C$

따라서 $$ \ln ax =\ln x +\ln a$$

 

참고 치환적분을 이용하여 증명할 수도 있다.

$$ \begin{align}\ln xy &= \int_{1}^{xy}\frac{1}{t}dt= \int_1^{x} \frac{1}{t}dt+\int_{x}^{xy}\frac{1}{t}dt \\&=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt+ \int_{1}^{y} \frac{1}{\frac{s}{x}} \frac{1}{x}ds~(xt=s ~치환하면) \\&=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt+\int_1^{y} \frac{1}{s} ds \\&=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt+\int_{1}^{y} \frac{1}{t}dt\\&=\ln x + \ln y\end{align}$$

(2), (3)번도 똑같이 하면 되니 여러분께 맡길께요.

 

따름 정리

(1) $\lim\limits _{x \rightarrow \infty} \ln x = \infty$ 

(2) $\lim\limits _{x \rightarrow 0+} \ln x =- \infty$ 

(증명)

(1) 이것을 보이기 위해 다음을 이용할 것이다.

$$\ln x =\int_1^x \frac{1}{x}dx$$

$$ \int_a^b f(x)dx= \int_a^c f(x)dx +\int_c^b f(x)dx$$

구간 $[a,~b]$에서 $f(x) \geq m$이면 $$ \int_a^b f(x)dx \geq m(b-a)$$

우리는 구간 $\left[  {2^n},~ {2^{n+1} }\right]$에서 위의 것을 이용하여

$$\ln \left( 2^{n+1} \right) \geq \frac{n+1}{2}$$

임을 보이자.

먼저 $\left[2^0 ,~2^1 \right]$에서 $\frac{1}{t} \geq \frac{1}{2}$이므로

$$\ln (2^1) =\int_1^{2^1} \frac{1}{t}dt \geq \int_{1}^{2^1} \frac{1}{2}dt= \frac{1}{2}\times (2-1)=\frac{1}{2} $$

또, $\left[2^1 ,~2^2 \right]$에서 $\frac{1}{t} \geq \frac{1}{2^2}$이므로

$$\ln (2^2) =\int_{1}^{2^2} \frac{1}{t}dt=\int_1^{2^1} \frac{1}{t}dt +\int_{2^1}^{2^2} \frac{1}{t}dt\geq \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2} {(2^2 -2^1)} =1 $$

일반화하여 $\left[2^n ,~2^{n+1} \right]$에서 $\frac{1}{t} \geq \frac{1}{2^{n+1}}$이므로

$$\int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac{1}{t}dt \geq \frac{1}{2^{n+1}} {(2^{n+1} -2^{n})} = \frac{1}{2}$$

따라서

$$\begin{align}\ln (2^{n+1} )&= \int_{1}^{2^{n+1}} \frac{1}{t}dt = \sum_{k=0}^{n} \int_{2^k}^{2^{k+1}} \frac{1}{t}dt \\&\geq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2} = \frac {n+1}{2}\end{align}$$

즉,

$$\begin{align}\ln (2^{n+1} ) \geq \frac {n+1}{2}\end{align}$$

실수 $x$에 대하여 $x \geq 2^{n+1}$을 만족하는 실수 $x$를 잡을 수 있으므로

$$\ln x =\int_1^x \frac{1}{t}dt \geq \int_{1}^{2^{n+1}} \frac{1}{t}dt \geq \frac{n+1}{2} $$

이 성립한다. $n \rightarrow \infty$이면 $x \rightarrow \infty$이므로 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2}=\infty$이다.

따라서 $$\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \ln x =\infty$$

(2) $\frac{1}{x}=t$로 치환하면 $x \rightarrow 0+$이면 $t \rightarrow \infty$이다. 또, $\ln \left( \frac{1}{t} \right)=-\ln t$이다. 또, $\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \ln t =\infty$이므로

$$\begin{align} \lim\limits_{x \rightarrow 0+} \ln x &=\lim_{t \rightarrow 0+} \ln \left( \frac{1}{t} \right) \\&=\lim_{t \rightarrow 0+} - \ln t =-\infty\end{align}$$