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울산 옥동에 있는 더플러스수학학원블로그입니다. 수능, 교육청, 삼사, 경찰대 등의 문제 풀이 동영상, 서울대 등 심층면접문제, 수리논술문제 풀이 영상 제공, 학생이 자기주도적 학습에 도움준다. 또, 울산과고를 위해 교과서인 심화수학, 고급수학, AP Calculus 등의 수업학교프린트 풀이를 제공한다. 여기의 풀이영상은 학원의 유투브인 더플러스수학(https://youtube.com/@THEPLUSMATH)에 있다.

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  • [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2
    수학과 공부이야기 2019. 11. 25. 13:29

    https://plusthemath.tistory.com/263

     

    [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1

    고등학교 수학에서는 로그함수(lnx)를 정의하는 절차는 다음과 같다. 1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기 m, n 은 자연수, a>0, a1인 실수에 대해 $$\begin{align} &a^m \t..

    plusthemath.tistory.com

    이 과정의 한계지점

    (1) 지수보다 수열을 나중에 배움

    (2) 수열의 수렴은 미적분과정에서 배움

    (3) 단조수렴정리 "증가수열이고 위로 유계면 수렴한다."는 대학과정 혹은 고급수학과정임

     

    전편에서 본 위와 같은 한계를 극복하기 위해 대학에서는 먼저 모든 학생들이 이과면 미적분을 배웠기 때문에 lnx를 정적분으로 정의하여 시작한다.

    정의1. 자연로그를 다음과 같이 정의한다.

    양수 x>0에 대하여

    lnx=x11xdx

    * 만약 x>1이면 lnxt=1에서 t=x까지 1xx축 사이의 넓이이다.

    * 만약 0<x<1이면 lnxt=x에서 t=1까지 1xx축 사이의 넓이에 ()를 곱한 값이다.

     

    로그의 성질을 위의 정의를 이용하여 증명하기 위해서는 다음이 필요하다.

     

    보조정리2.

    함수 f가 어떤 구간에서 정의된 일대일 연속함수라 하면, 그 역함수도 연속함수이다.

    * 이 정리는 고교과정을 넘어서므로 그냥 받아들이자.

    2022.02.16 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 일대일 대응인 연속함수는 그 역함수도 연속함수이다.

     

    정리3.

    함수 f가 역함수 g=f1를 가지는 미분가능한 함수이고 f(g(a))0이면 역함수 gx=a에서 미분가능하고,

    g(a)=1f(g(a))

    또는

    (f1)(a)=1f(f1(a))

    증명

    도함수의 정의에 의해

    (f1)(a)=lim

    이다. 이 극한을 치환하여 함수 f의 극한으로 표현하자.

    f^{-1}(x)=y~~\Longleftrightarrow ~ f(y)=x

    f^{-1}(a)=b~~\Longleftrightarrow ~ f(b)=a

    함수 f가 미분가능하므로 연속이다. 따라서 위의 정리에 의해 f^-1도 연속이다. 그러므로 x \rightarrow a이면 f^{-1}(x) \rightarrow f^{-1}(a)이다. 즉 y \rightarrow b이다. 그런데 여기서 x \ne a이면 y \ne b이다. 왜냐하면 함수 f가 역함수를 가지므로 일대일 대응이기 때문이다. 즉 귀류법으로 y=b이고 x \ne a라면 1-1대응이라는 사실과 서로 모순이다.

    이제 함수 f에 대한 극한으로 바꾸어 증명하자.

    \begin{align} (f^{-1})' (a) &= \lim_{x \rightarrow a} \frac{f^{-1}(x)-f^{-1}(a)}{x-a}\\&=\lim_{y \rightarrow b}\frac{y-b}{f(y)-f(b)}\\&=\lim_{y \rightarrow b}\frac{1}{\frac{f(y)-f(b)}{y-b}}\\&=\frac{1}{f'(b)}\end{align}

     

    Note 위의 정리는 라이프니츠의 기호를 써서 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

    f^{-1}(x)=y이면 f(y)=x이므로

    \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}

     

    또, 미적분학의 기본정리에 의해 다음을 쉽게(?) 증명할 수 있다.

    (\ln x)'=\frac{1}{x}

    증명

    (\ln x)' = \frac {d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}dt = \frac{1}{x}

     

    이제 로그의 성질을 대학과정으로 증명하는 데 도착했다. 

    정리 로그의 법칙

    양의 실수 x,~y와 실수 r에 대하여

    (1)~\ln(xy)=\ln x+\ln y

    (2)~\ln \left(\frac {x}{y} \right)=\ln x-\ln y

    (3)~\ln (x^r )= r \ln x

    증명

    (1) \left( \ln (ax) \right)'= \frac{1}{x}를 증명하면서 시작하자.

    너무 쉽다고 생각하면 안된다. 고등학교에서 배웠다고 하면 안된다. \ln x를 정적분으로 정의하면서 시작하고 있으니 우리가 쓸 수 있는 것은 \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}dt와 미적분학의 기본정리(1)인 \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt =f(x)라는 사실밖에 없다.

    \begin{align}\left( \ln (ax) \right)' &= \frac{d}{dx} \int_1^{ax} \frac{1} {t}dt=\frac{1}{ax} \times \frac{d}{dx} (ax) \\&=\frac{1}{ax}\times a = \frac{1}{x}\end{align}

    또,  

    \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}

    이므로 \ln(ax)\ln x의 도함수가 서로 같다. 따라서 두 함수는 상수 C에 대해 서로 상수차이밖에 없으므로

    \ln ax =\ln x +C

    위의 식에 x=1을 대입하면 \ln 1 =0이므로(왜?) \ln a = C

    따라서 \ln ax =\ln x +\ln a

     

    참고 치환적분을 이용하여 증명할 수도 있다.

    \begin{align}\ln xy &= \int_{1}^{xy}\frac{1}{t}dt= \int_1^{x} \frac{1}{t}dt+\int_{x}^{xy}\frac{1}{t}dt \\&=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt+ \int_{1}^{y} \frac{1}{\frac{s}{x}} \frac{1}{x}ds~(xt=s ~치환하면) \\&=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt+\int_1^{y} \frac{1}{s} ds \\&=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt+\int_{1}^{y} \frac{1}{t}dt\\&=\ln x + \ln y\end{align}

    (2), (3)번도 똑같이 하면 되니 여러분께 맡길께요.

     

    따름 정리

    (1) \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \ln x = \infty 

    (2) \lim\limits _{x \rightarrow 0+} \ln x =- \infty 

    (증명)

    (1) 이것을 보이기 위해 다음을 이용할 것이다.

    \ln x =\int_1^x \frac{1}{x}dx

    \int_a^b f(x)dx= \int_a^c f(x)dx +\int_c^b f(x)dx

    구간 [a,~b]에서 f(x) \geq m이면 \int_a^b f(x)dx \geq m(b-a)

    우리는 구간 \left[  {2^n},~ {2^{n+1} }\right]에서 위의 것을 이용하여

    \ln \left( 2^{n+1} \right) \geq \frac{n+1}{2}

    임을 보이자.

    먼저 \left[2^0 ,~2^1 \right]에서 \frac{1}{t} \geq \frac{1}{2}이므로

    \ln (2^1) =\int_1^{2^1} \frac{1}{t}dt \geq \int_{1}^{2^1} \frac{1}{2}dt= \frac{1}{2}\times (2-1)=\frac{1}{2}

    또, \left[2^1 ,~2^2 \right]에서 \frac{1}{t} \geq \frac{1}{2^2}이므로

    \ln (2^2) =\int_{1}^{2^2} \frac{1}{t}dt=\int_1^{2^1} \frac{1}{t}dt +\int_{2^1}^{2^2} \frac{1}{t}dt\geq \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2} {(2^2 -2^1)} =1

    일반화하여 \left[2^n ,~2^{n+1} \right]에서 \frac{1}{t} \geq \frac{1}{2^{n+1}}이므로

    \int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac{1}{t}dt \geq \frac{1}{2^{n+1}} {(2^{n+1} -2^{n})} = \frac{1}{2}

    따라서

    \begin{align}\ln (2^{n+1} )&= \int_{1}^{2^{n+1}} \frac{1}{t}dt = \sum_{k=0}^{n} \int_{2^k}^{2^{k+1}} \frac{1}{t}dt \\&\geq \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2} = \frac {n+1}{2}\end{align}

    즉,

    \begin{align}\ln (2^{n+1} ) \geq \frac {n+1}{2}\end{align}

    실수 x에 대하여 x \geq 2^{n+1}을 만족하는 실수 x를 잡을 수 있으므로

    \ln x =\int_1^x \frac{1}{t}dt \geq \int_{1}^{2^{n+1}} \frac{1}{t}dt \geq \frac{n+1}{2}

    이 성립한다. n \rightarrow \infty이면 x \rightarrow \infty이므로 \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{2}=\infty이다.

    따라서 \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \ln x =\infty

    (2) \frac{1}{x}=t로 치환하면 x \rightarrow 0+이면 t \rightarrow \infty이다. 또, \ln \left( \frac{1}{t} \right)=-\ln t이다. 또, \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \ln t =\infty이므로

    \begin{align} \lim\limits_{x \rightarrow 0+} \ln x &=\lim_{t \rightarrow 0+} \ln \left( \frac{1}{t} \right) \\&=\lim_{t \rightarrow 0+} - \ln t =-\infty\end{align}

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