[수학의 기초] 부분적분의 활용1 -이차함수 넓이 적분

이차함수 $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$ ($\alpha<\beta$)에서 $x$축과 $f(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는

$$\textcolor {red}{S= \left| \int_{\alpha} ^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\right|dx= \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6} }$$

 

아래 링크를 먼저 보면서 표에 의한 적분이 무엇인지 알고 따라가면 이해하기 쉽다.

https://plusthemath.tistory.com/177

부분적분 1 - LIATE 'tabular integration by parts'

표에 의한 부분적분법(tabular integration by parts)를 써서 증명하자.

 

(증명) 미분할 것 즉 $v=x-\beta$, 적분할 것 즉, $u'=x-\alpha$로 놓고 표에 의한 부분적분을 쓰면

$$\begin{array}{cccc} \hline \bf{미(v)} &  & \bf{ 적(u')}  \\\hline x-\beta & &x-\alpha\\ &\searrow &\\ 1 &&\frac{(x-\alpha)^2}{2}  \\&\searrow& \\ 0& \rightarrow &\frac{(x-\alpha)^3}{6}  \\   \end{array}$$

따라서

$$\begin{align} \int_{\alpha} ^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx&= \left[ (x-\alpha) \frac{(x-\alpha)^2}{2} - 1\times \frac{(x-\alpha)^3}{6} \right]_{\alpha}^{\beta} +\int_{\alpha}^{\beta}0  dx   \\&=- \frac{1}{6} {(\beta-\alpha)^3}\end{align}$$

그러므로

$$\textcolor {red}{S= \left| \int_{\alpha} ^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)\right|dx= \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6} }$$

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

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