[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1

 

고등학교 수학에서는 로그함수($\ln x$)를 정의하는 절차는 다음과 같다.

1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기

$\textcolor{red}{m,~n}$ 은 자연수, $a>0,~a \ne 1$인 실수에 대해

$$\begin{align} &a^m \times a^n =a^{m+n} &\frac{a^m }{a^n}= \begin{cases} a^{m-n} &(m>n) \\ 1&(m=n) \\ \frac{1}{a^{n-m}} &(m<n)  \end{cases}\\ &(a^m)^n =a^{mn} &(ab)^n =a^n b^n \end{align}$$

2. 고2 수학1(2015개정) 지수법칙의 확장에서

1의 $\textcolor{red}{m,~n}$ 은 자연수에서 정수로 확장하기 위해 

$a^0 =1$ $a^{-n} =\frac{1}{a^n}$

을 정의했다.

또, $\textcolor{red}{m,~n}$ 은 정수에서 유리수로 확장하기 위해 먼저 거듭제곱근에 대한 정의를 하고 

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}~a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$

그런데 유리수에서 실수로 확장하기 위해 뭔가 어물쩍 넘어가고 있다. 이것이 고등학교에서 $\Log$를 정의하는데 일정정도 한계가 있다는 점이다.

그 과정을 한 번 보도록 하자. 

$$\\3^{\sqrt{2}}\times 3^{\sqrt{3}} =3^{\sqrt2 +\sqrt3}$$

이 되는 과정을 설명하므로 지수법칙이 실수의 집합에서도 성립함을 고등학교 과정으로 보이자.

먼저 예를 들어 $3^{\sqrt{2}}$에 대해 $\sqrt2$로 가는 유리수 수열 $\{a_n \}$을 생각하자. (그런데 고등학교 과정에서는 지수보다 수열이 더 늦게 나온다.) 또, 여기서 "$\sqrt2$로 가는 유리수 수열"에서 극한이 전제되어 있다. (고등학교 과정에서는 수열의 극한이 미적분과정에 있어서 한 참 후에 나온다.) 그래도 계속 가보도록 하자.

$$\{a_n\}~:~1,~1.4,~1.41,~1.414,~\cdots $$

위의 수열은 $\sqrt{2}$로 수렴하는 수열이고 모든 항은 유리수이다. 따라서 $3^\sqrt{2}$은 다음 수열 $\{3^{a_n} \}$이 수렴하는 값으로 정의하자.

$$\{3^{a_n }\} ~:~3^1 ,~3^{1.4},~3^{1.41},~3^{1.414},~\cdots$$

마찬가지로  $3^\sqrt{3}$도 $\sqrt3$으로 수렴하는 유리수수열 $\{b_n\}$에 대해 수열 $\{3^{\sqrt3} \}$이 수렴하는 극한값으로 정의할 수 있다. 즉

$$\{ 3^{b_n}\}~:~3^1 ,~3^{1.7},~3^{1.73},~3^{1.732},~\cdots$$

로 정의할 수 있다. 위의 수열의 지수가 모두 유리수이므로 $$3^{a_n }\times 3^{b_n}=3^{a_n \times b_n}$$은 정의할 수 있고 $$3^{\sqrt2 +\sqrt3}$$을 수열 $$3^{a_n \times b_n}$$의 극한값으로 정의할 수 있다. 

$$3^1\times 3^1 ,~3^{1.4} \times 3^{1.7},~3^{1.41}\times 3^{1.73},~3^{1.414}\times 3^{1.732},~\cdots$$

즉 위의 수열이 수렴한다면 그 수렴값은 $3^{\sqrt2 +\sqrt3}$로 나타낸다. 문제는 위의 수열이 수렴한다는 것을 보일 수 있냐는 것이다. 고등학교 과정에서

위의 수열이 수렴함을 보이려면 고등학교 고급수학(과학과에서 배우는)에서 나오는 단조수렴정리를 전제로 해야 보일 수 있다. 즉

수열 $\{a_n\}$이 증가수열이고, 위로 유계이면 수열 $\{a_n\}$은 수렴한다.

ㅠㅠ

어찌됐든 실수집합에서 지수법칙을 정의할 수 있었고, 그것을 통해 지수함수를 정의하고, 지수함수의 역함수로 로그함수를 정의하고 그 함수의 성질로서 로그의 성질을 증명하였다.

$M>0,~N>0,~a \neq 1,~a > 0,~n \in \mathbb R$에 대하여

(1) $\log_a MN =\log_a M +\log_a N$

(2) $\log_a \frac{M}{N} =\log_a M -\log_a N$

(3) $\log_a M^n  =n \log_a M $

 

이 과정의 한계지점

(1) 지수보다 수열을 나중에 배움

(2) 수열의 수렴은 미적분과정에서 배움

(3) 단조수렴정리 "증가수열이고 위로 유계면 수렴한다."는 대학과정 혹은 고급수학과정임