[수학의 기초]이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이

이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이

1. 이차함수 $f(x)=ax^2 +bx+c$와 $x$축의 교점이 $\alpha,~\beta~(\alpha<\beta)$일 때, 이차함수와 $x$축으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는

$$\begin{align}S&=\left|\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)dx \right|\\&= \textcolor{red}{\frac{|a|}{6} \left( \beta-\alpha\right)^3}\end{align}$$

부분적분을 이용한 풀이는 다음을 참조하세요

https://plusthemath.tistory.com/229

[수학의 기초] 부분적분의 활용1 -이차함수 넓이 적분

 

다르게 하자. $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$를 다음과 같이 $x-\alpha$에 대한 다항함수로 고칠 수 있다. 이것을 고치는 것은 고1 과정에서 조립제법을 연속해서 하는 방법으로 고칠 수 있고, 또는 항등식이므로 미분을 이용해서 고칠 수 있다. 이것을 물론 일반화한것은 테일러 급수이다. 이 내용을 언젠가 한 번 주제로 잡겠다.

$$\begin{align} f(x)&=a(x-\alpha)(x-\beta)\\&=a(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\\&=a\left\{(x-\alpha)^2 - (\beta-\alpha)(x-\alpha)\right\}\end{align}$$

따라서 이것을 이용하여 $\alpha$에서 $\beta$까지 적분해 보면

$$\begin{align}\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)dx &=a\int_{\alpha}^{\beta}  (x-\alpha)^2 - (\beta-\alpha)(x-\alpha) dx\\&=a \left[ \frac{(x-\alpha)^3}{3} - (\beta-\alpha) \frac{(x-\alpha)^2 }{2}\right]_{\alpha}^{\beta} \\&= \textcolor{red}{-\frac{a}{6} \left( \beta-\alpha\right)^3}\end{align}$$

 

2. 이차함수 $f(x)=ax^2 +bx+c$ 위의 점 $\mathrm P \left(\alpha,~f(\alpha) \right)$, $\mathrm Q\left(\beta,~f(\beta) \right)$ $(\alpha<\beta)$와 곡선 $y=f(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S$라 하고 또, 두 점 $\mathrm{P,~Q}$에서 각각 그은 접선과 이차함수로 둘러싸인 도형의 넓이를 $T$라 하면

$$\textcolor{red} {\begin{align}&S= \frac{|a|} {6} (\beta-\alpha)^3 \\&T=\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}S=\frac{|a|} {\textcolor{blue}{12}} (\beta-\alpha)^3  \end{align}}$$

증명)

$\mathrm{PQ}$를 지나는 직선을 $l(x)$라 하면 $y=f(x)$와 $y=l(x)$의 교점의 $x$좌표는 $\alpha,~\beta$이므로 이차함수 $f(x)$와 직선 $l(x)$로 둘러싸인 넓이 $S$는 

$$\begin{align}S&=\left|\int_{\alpha}^{\beta} f(x)-l(x)dx \right| \\&=\left| \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)dx \right|\end{align}$$

이다. 이것은 위의 1에 의해

$$\begin{align}S= \textcolor{red}{\frac{|a|}{6} \left( \beta-\alpha\right)^3}\end{align}$$

 

또, $(\alpha,~f(\alpha))$에서 $f(x)$에 그은 접선을 $m(x)$, $(\beta,~f(\beta))$에서 $f(x)$에 그은 접선을 $n(x)$라 하면 $y=m(x)$와 $y=n(x)$의 교점의 $x$좌표가 $\frac{\alpha+\beta}{2}$임을 보이자.

$m(x)$와 $n(x)$를 표현하면 다음과 같다.

$$\begin{align} m(x) ~:~ &y=f'(\alpha)(x-\alpha)+f(\alpha)\\&y=(2a\alpha+b)(x-\alpha)+a\alpha^2 +b\alpha +c\\n(x) ~:~ &y=f'(\beta)(x-\beta)+f(\beta)\\&y=(2a\beta+b)(x-\beta)+a\beta^2 +b\beta +c \end{align}$$

위의 두 식을 빼서 정리하면

$$x=\frac{\alpha+\beta}{2}$$

이다.

이제 $T$의 넓이를 구해보자. 먼저 $y=m(x)$와 $y=f(x)$의 교점의 $x$ 좌표 구하는 방정식이 다음과 같이 표현할 수 있음을 잘 이해하자.

$$m(x)=f(x),~f(x)-\left\{f'(\alpha)(x-\alpha)+f(\alpha)\right\}= 0$$

$$f(x)-m(x)=a \left( x-\alpha \right)^2= 0$$

왜냐하면 $y=m(x)$와 $y=f(x)$의 교점은 $x=\alpha$로 하나밖에 없어 중근을 갖기 때문이다. (참고 이 과정을 이용하는 모의고사 문제는 다음 링크에 있다. 참고하시길...)

https://plusthemath.tistory.com/205

[삼사관학교 기출] 2016학년도 A 삼사 21번

 

따라서 위의 그림에서 $\mathrm T_1$의 넓이는

$$\begin{align} \mathrm T_1 &= \left| \int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} f(x)-m(x)dx \right| \\&=\left|\int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}} a \left(x-\alpha \right)^2 dx \right| \\& =\left| \left[ \frac{a(x-\alpha)^3}{3} \right]_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}}\right| \\&=  \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{24} \end{align}$$

똑같은 과정으로 $\mathrm T_2$를 구하면

$$\begin{align} \mathrm T_2  = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{24} \end{align}$$

따라서 $\mathrm T$는

$$\begin{align} \mathrm T_2  = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{12} \end{align}$$

 

또 이 과정이 고려대 수리논술 문제로 나온 적이 있다.

https://plusthemath.tistory.com/250

 

수2의 극대극소와 관련되어 이 내용을 쓸 수 있다. 아래를 참조해주세요.

2020/04/05 - [수학과 공부이야기] - [수학의 팁] 3차함수의 극대극소의 차 [더플러스수학]

[수학의 팁] 3차함수의 극대극소의 차 [더플러스수학]

 

과학고 내신대비와 대학입시를 위해서는 다음의 글을 참조하세요. 다양한 글이 있습니다.

http://mathhowtosolveit.com/%EA%B3%BC%ED%95%99%EA%B3%A0-%ED%95%99%EB%85%84%EB%B3%84-%EB%82%B4%EC%8B%A0%EB%8C%80%EB%B9%84-%EC%98%88%EC%83%81%EB%AC%B8%EC%A0%9C

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