[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -1

정의 함수

공집합이 아닌 두 집합 $X,~Y$가 존재하여 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 원소가 하나씩 대응할 때 이 대응을 

$X$에서 $Y$로의 함수

라 하고 문자 $f$를 써서

$f~:~X ~\longrightarrow~Y$ 또는 $\require{AMScd}\begin{CD} X @>{f}>> Y\end{CD}$

또, 함수 $f$에 의하여 $X$의 원소 $x$에 $Y$의 원소 $y$가 대응하는 것을

$f~:~x ~\longrightarrow~y$  또는  $\require{AMScd}\begin{CD} x @>{f}>> y\end{CD}$, $y=f(x)$

등으로 나타내고, $y$는 $x$의 함수이다 라고 한다.

이때 $y$를 $f$에 의한 $x$ 의 함숫값이라 하고 $f(x)$ 로 나타낸다. 여기에서 $x$ 를 독립변수, $y$ 를 종속변수라고도 한다.

또, 함수 $f~:~X ~\longrightarrow~Y$ 가 있을 때 집합 $X$ 를 함수 $f$ 의 정의역, 집합 $Y$ 를 함수 $f$ 의 공역이라 하고, $x (\in X)$ 의 함숫값 전체의 집합 $\left \{ ~f(x)~|~x \in X \right\} $를 $f$ 의 치역이라 하며, $f(X)$로 나타내기도 한다.

이때 치역 $f(X)$ 는 공역 $Y$ 의 부분집합이다.

이것을 영어로 하면 아래와 같다.

Definition  Let $X$ and $Y$ be sets. A function $f$ from $X$ to $Y$ is a rule that assigns every element $x$ of $X$ to a unique $y$ in $Y$ . We write $ f~ :~ X \longrightarrow Y$ and $f(x) = y$. Formally, using predicate logic:

$$ (∀x ∈ X, ~∃y ∈ Y, y = f(x)) ∧ (∀x_1 , ~x_2 \in X, ~f(x_1) \ne f(x_2) ~\longrightarrow ~x_1 \neq x_2) \cdots\cdots(\mathrm {i})$$

Then X is called the domain(정의역) of f, and Y is called the codomain(공역) of f. The element y is the image of $ x$ under $f$, while $x$ is the preimage of $y$ under $f$. Finally, we call range(치역) the subset of $Y$ with preimages.

여기서 (i)를 잘 이해해야 한다.

$$ ∀x ∈ X, ~∃y ∈ Y, ~y = f(x)$$

"임의의 $x \in X$에 대하여 적당한 $y \in Y$가 존재하여 $y=f(x)$이다."

"For all $x \in X$, there exists $y \in Y$ such that $y=f(x)$"

이것을 존재성 조건이라 한다. 즉 정의역의 임의의 원소 $x$에 대하여 $y=f(x)$를 만족하는 공역의 원소 $y$가 존재한다는 것이다. 대응되지 않는 $X$의 원소가 있어서는 안된다. 즉 모든 $x \in X$가 대응되어야 한다.

이 조건을 부정하면 "임의의"("모든")을 부정하면 "어떤"("존재한다")이므로

"집합 $X$의 어떤 원소 $x_0$가 존재하여 모든 $y \in Y$에 대하여 $y \neq f(x_0)$이다." 

즉, 집합 $Y$의 어떤 원소 $y$와도 대응되지 않는 $x_0 \in X$가 존재한다.

영어로 쓰면

There exists $x_0 \in X$ such that for all $y \in Y$, $y \neq f(x_0)$

또, 다음은 유일성 조건이라 하는 것이다.

$$ ∀x_1 , ~x_2 \in X, ~f(x_1) \ne f(x_2) ~\longrightarrow ~x_1 \neq x_2 $$

"집합 $X$에 있는 임의의 $x_1 ,~x_2$에 대하여 $f(x_1 ) \neq f(x_2 )$이면 $x_1 \neq x_2$이다."

대우로 쓰면

"집합 $X$에 있는 임의의 $x_1 ,~x_2$에 대하여 $x_1 = x_2$이면 $f(x_1 ) = f(x_2 )$이다."

이것은 집합 $X$에 있는 원소 각 원소 $x$에 대응되는 $y\in Y$의 값이 오직 하나 유일하다는 것이다.

위의 조건을 부정하면

집합 $X$의 어떤 원소 $x_1,~x_2$이 존재하여 $x_1 =x_2$이지만 $f(x_1 ) \neq f(x_2)$이다.

There exist $x_1,~x_2 \in X$ such that $x_1 =x_2 $ but $f(x_1 ) \neq f(x_2)$

즉 예를 들어 $f(1)=2$이면서 $f(1)=3$일 수는 없다는 것이다. $x$에 $y$의 값이 오직 하나 대응되어야 한다는 것이다. 반면에 $f(1)=2,~f(3)=2$ 처럼 $x$의 값 여러개가 $y$의 한 값에 대응되어도 함수는 된다. 이 둘을 혼동해서는 안된다.

또,

"집합 $X$에 있는 임의의 $x_1 ,~x_2$에 대하여 $x_1 = x_2$이면 $f(x_1 ) = f(x_2 )$이다." $\cdots\cdots (\mathrm{a})$

의 역인

"집합 $X$에 있는 임의의 $x_1 ,~x_2$에 대하여 $f(x_1 ) = f(x_2 )$이면 $x_1 = x_2$이다." $\cdots\cdots(\mathrm{b})$

와 혼동하면 또 안된다. (a)는 함수조건, (b)는 뒤에서 고찰할 일대일 함수 조건이다.

간단한 예를 들면서 함수의 정의를 이해하자.

위의 대응 중 다음 조건을 만족하는 것을 찾아보자.

임의의 $x_1,~x_2 \in X$에 대하여 $x_1 =x_2 $이면 $f(x_1)=f(x_2 )$이다.

정답은 (2),(3), (4)

임의의 $x_1,~x_2 \in X$에 대하여 $x_1 \neq x_2 $이면 $f(x_1)\neq f(x_2 )$이다.

정답은 (2), (4)

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[수학의 기초] 함수의 정의와 함수의 종류 -2

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