[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-3

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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2

전편에 있어 이제 자연상수 $e$를 정의할 수 있게 되었다.

 

정의 자연상수 $e$

$e$는 $\ln e=1$인 수이다. 수를 소수 $20$번째 자리까지 계산하면 

$$e= 2.71828182845904523536$$

이다. 이 수는 순환하지 않는 무한소수 즉, 무리수이다.

$e$가 무리수임에  대한 증명은 다음을 참조하세요.

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[수학의 기초] 자연상수 $e$ 무리수 증명

 

정의 자연지수함수

함수 $\ln$은 증가 함수이므로 일대일 함수이다. 따라서 $\exp$로 표기하는 역함수를 갖는다.

$$ \exp(x) = y ~\Longleftrightarrow~ \ln y = x $$이 함수를 자연지수함수라 한다.

 

Note 역함수의 성질 $f(f^{-1}(x))=x,~f^{-1}(f(x))=x$에 의해 $\ln (\exp(x))=x,~\exp(\ln x)=x$이므로 지수법칙 중 간단한 것을 보일 수 있다.

$$\ln 1=0 ~\Longleftrightarrow ~ 1=\exp(\ln1)=\exp(0)~~\therefore ~\exp(0)=1$$

$$\ln e=1 ~\Longleftrightarrow ~ e=\exp(\ln e)=\exp(1)~~\therefore ~\exp(1)=e$$

또, 실수 $x$에 대하여 $\ln(e^x )=x \ln e =x$이이다. 즉 

$\ln(e^x)=x$이고 $\ln(\exp(x))=x$이므로 $\ln x$의 역함수는 $\exp (x)$와 $e^x$이다. 그런데 역함수의 유일성(uniqueness)에 의해

$$\exp(x)=e^x$$

이다. 즉 $\ln x$의 역함수는 $e^x$이다.

이제 지수법칙을 증명할 차례이다.

정리 지수법칙

실수 $x,~y,~r$에 대하여

(1) $e^{x+y}=e^x e^y$                (2) $e^{x-y}=\frac{e^x }{e^y}$

(3) $(e^x)^r =e^{rx}$

증명

(1) $e^x=a,~e^y =b$라 두면 지수함수($e^x$)의 역함수는 $\ln x$이므로

$$e^x =a ~\Longleftrightarrow~ x=\ln a$$

$$e^y =b ~\Longleftrightarrow~ y=\ln b$$

$x+y= \ln a +\ln b=\ln ab$이므로 

$$ab=e^{x+y}$$

$a$와 $b$에 각각 $e^x ,~e^y$을 대입하면

$$e^{x+y}=e^x e^y$$

(2) (1)과 똑같이 하면 된다.

(3) $e^x=a$라 두면 지수함수($e^x$)의 역함수는 $\ln x$이므로

$$e^x =a ~\Longleftrightarrow~ x=\ln a$$

$$rx = r \ln a = \ln a^r ,~~ rx= \ln a^r$$

역함수 성질에 의해

$$a^r =e^{rx}$$

$a= e^x$이므로 대입하면

$$(e^x)^r =e^{rx}$$

 

정리 $\frac{d}{dx} e^x =e^x$

증명

$y=e^x$이면 역함수의 정의에 의해

$$x=\ln y$$

$\frac{d}{dx} \ln x =\frac{1}{x}$이고, 역함수 미분법을 이용하여 미분하면

$$\begin {align} \frac{dy}{dx}&=\frac{d e^x}{dx}\\&=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{d y}\ln y}\\&= \frac{1}{\frac{1}{y}}=y=e^x \end{align}$$

즉, $$\frac{d}{dx}e^x =e^x$$