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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-3수학과 공부이야기 2019. 11. 28. 00:15
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[수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-2
https://plusthemath.tistory.com/263 [수학의 기초] 로그함수의 정의(대학에서)-1 고등학교 수학에서는 로그함수(lnx)를 정의하는 절차는 다음과 같다. 1. 중1에서 자연수에서 지수법칙을 정의하기 $\textcol..
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전편에 있어 이제 자연상수 e를 정의할 수 있게 되었다.
정의 자연상수 e
e는 lne=1인 수이다. 수를 소수 20번째 자리까지 계산하면
e=2.71828182845904523536
이다. 이 수는 순환하지 않는 무한소수 즉, 무리수이다.
e가 무리수임에 대한 증명은 다음을 참조하세요.
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[수학의 기초] 자연상수 e 무리수 증명
1. ex이 다음과 같이 표현될 수 있다고 하자. Taylor Series ex=1+x1!+x22!+⋯+xnn!+⋯ 여기에 x=1을 대입하면 $$ e=1+ \frac {1}..
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정의 자연지수함수
함수 ln은 증가 함수이므로 일대일 함수이다. 따라서 exp로 표기하는 역함수를 갖는다.
exp(x)=y ⟺ lny=x이 함수를 자연지수함수라 한다.
Note 역함수의 성질 f(f−1(x))=x, f−1(f(x))=x에 의해 ln(exp(x))=x, exp(lnx)=x이므로 지수법칙 중 간단한 것을 보일 수 있다.
ln1=0 ⟺ 1=exp(ln1)=exp(0) ∴
\ln e=1 ~\Longleftrightarrow ~ e=\exp(\ln e)=\exp(1)~~\therefore ~\exp(1)=e
또, 실수 x에 대하여 \ln(e^x )=x \ln e =x이이다. 즉
\ln(e^x)=x이고 \ln(\exp(x))=x이므로 \ln x의 역함수는 \exp (x)와 e^x이다. 그런데 역함수의 유일성(uniqueness)에 의해
\exp(x)=e^x
이다. 즉 \ln x의 역함수는 e^x이다.
이제 지수법칙을 증명할 차례이다.
정리 지수법칙
실수 x,~y,~r에 대하여
(1) e^{x+y}=e^x e^y (2) e^{x-y}=\frac{e^x }{e^y}
(3) (e^x)^r =e^{rx}
증명
(1) e^x=a,~e^y =b라 두면 지수함수(e^x)의 역함수는 \ln x이므로
e^x =a ~\Longleftrightarrow~ x=\ln a
e^y =b ~\Longleftrightarrow~ y=\ln b
x+y= \ln a +\ln b=\ln ab이므로
ab=e^{x+y}
a와 b에 각각 e^x ,~e^y을 대입하면
e^{x+y}=e^x e^y
(2) (1)과 똑같이 하면 된다.
(3) e^x=a라 두면 지수함수(e^x)의 역함수는 \ln x이므로
e^x =a ~\Longleftrightarrow~ x=\ln a
rx = r \ln a = \ln a^r ,~~ rx= \ln a^r
역함수 성질에 의해
a^r =e^{rx}
a= e^x이므로 대입하면
(e^x)^r =e^{rx}
정리 \frac{d}{dx} e^x =e^x
증명
y=e^x이면 역함수의 정의에 의해
x=\ln y
\frac{d}{dx} \ln x =\frac{1}{x}이고, 역함수 미분법을 이용하여 미분하면
\begin {align} \frac{dy}{dx}&=\frac{d e^x}{dx}\\&=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{d y}\ln y}\\&= \frac{1}{\frac{1}{y}}=y=e^x \end{align}
즉, \frac{d}{dx}e^x =e^x
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