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[더플러스수학] 2011학년도 서울시립대 수리논술수리논술과 심층면접 2019. 8. 19. 21:30
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[2011학년도 시립대학교 논술]
수열 {fn}이 f1=1, f2=1, fn+2=fn+1+fn을 만족할 때, 이 수열을 피보나치 수열이라 하고, 수열 {ln}이 l1=1, l2=3, ln+2=ln+1+ln을 만족할 때, 이 수열을 루카스 수열이라고 한다.
다음 물음에 답하시오.
(a) an=1√5[(1+√52)n−(1−√52)n]인 수열 {an}이 피보나치 수열임을 보이고, 자연수 n에 대하여 an이 자연수임을 보이시오. (40점)
(b) 피보나치 수열 {fn}이 다음 식을 만족함을 보이시오. (40점)
f1f2+f2f3+f3f4+⋯+f2n−1f2n=f22n
(c) 문항 (a)를 참조하여 루카스 수열의 일반항을 구하시오. (40점)
(d) 루카스 수열 {ln}에 대하여 극한값 lim을 구하시오. (30점)
(a) 생략 (b) 수학적 귀납법으로 보이자.
(c) l _ {n} = \left ( \frac {1+ \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n} - \left ( \frac {1- \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n}
(d) \frac {1+ \sqrt {5} } {2}
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