[더플러스수학] 2011학년도 서울시립대 수리논술

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[2011학년도 시립대학교 논술]

수열 $ \left\{ f _ {n} \right\} $이 $ f _ {1} =1,~f _ {2} =1,~f _ {n+2} =f _ {n+1} +f _ {n} $을 만족할 때, 이 수열을 피보나치 수열이라 하고, 수열 $ \left\{ l _ {n} \right\} $이 $ l _ {1} =1,~l _ {2} =3,~l _ {n+2} =l _ {n+1} +l _ {n} $을 만족할 때, 이 수열을 루카스 수열이라고 한다.

다음 물음에 답하시오.

(a) $ a _ {n} = \frac {1} {\sqrt {5} } \left [ \left ( \frac {1+ \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n} - \left ( \frac {1- \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n} \right ] $인 수열 $ \left\{ a _ {n} \right\} $이 피보나치 수열임을 보이고, 자연수 $ n $에 대하여 $ a _ {n} $이 자연수임을 보이시오. (40점)

(b) 피보나치 수열 $ \left\{ f _ {n} \right\} $이 다음 식을 만족함을 보이시오. (40점)

$$ f _ {1} f _ {2} +f _ {2} f _ {3} +f _ {3} f _ {4} + \cdots +f _ {2n-1} f _ {2n} =f _ {2n} ^ {2} $$

(c) 문항 (a)를 참조하여 루카스 수열의 일반항을 구하시오. (40점)

(d) 루카스 수열 $ \left\{ l _ {n} \right\} $에 대하여 극한값 $ \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } \frac {l _ {n+1} } {l _ {n _ {} } } $을 구하시오. (30점)

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(a) 생략 (b) 수학적 귀납법으로 보이자.

(c) $ l _ {n} = \left ( \frac {1+ \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n} - \left ( \frac {1- \sqrt {5} } {2} \right ) ^ {n} $

(d) $ \frac {1+ \sqrt {5} } {2} $