[연세대논술]2020학년도 연세대학교 수시모집 논술시험 오전

 

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[문제 1]

그림과 같이 $\displaystyle \mathrm { \overline {AC}} =1$, $\displaystyle \overline {\mathrm { BC }} =a$ ($\displaystyle a>0$)이고 $\displaystyle \mathrm { \angle BCA}= \frac {\pi } {2}$인 삼각형 $\displaystyle \mathrm { ABC }$가 있다. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm { CA}$를 $\displaystyle n$등분한 각 분점을 점 $\displaystyle \mathrm { C }$에서 가까운 것부터 차례로 $\displaystyle \mathrm { P _ {0} ( =C) }$, $\displaystyle \mathrm { P _ {1} }$, $\displaystyle \mathrm { P _ {2} }$, $\displaystyle \mathrm { P _ {3} }$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle \mathrm { P} _ { n-1 }$, $\displaystyle \mathrm { P} _ { n } ( = \mathrm { A})$이라 하자. $\displaystyle 1 \leq k \leq n$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 선분 $\displaystyle \mathrm { BP} _ { k }$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle \mathrm { Q} _ { k }$라 하고, 선분 $\displaystyle \mathrm { CQ }_ { k }$의 길이를 $\displaystyle h _ {k}$라 하자. $\displaystyle h _ {k}$의 평균을 $\displaystyle H _ {n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } {H _ {n} }$을 구하시오. [10점]

 

 

 

 

 

 

[문제 2]

급수 $\displaystyle 1 ^ {2} +m \times 2 ^ {2} +3 ^ {2} +m \times 4 ^ {2} +5 ^ {2} +m \times 6 ^ {2} + \cdots$에서 첫째항부터 제$\displaystyle n$번째 항까지의 부분합을 $\displaystyle S _ {n}$라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _ {n \rightarrow \infty } { \frac {S _ {n} } {n ^ {3} } }$이 자연수가 되도록 하는 자연수 $\displaystyle m$의 형태를 나타내시오. [10점]

 

 

 

 

[제시문]

좌표평면에서 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {a}$에 대한 다음의 두 명제 $\displaystyle p _ {1} ,~p _ {2}$가 있다.

$\displaystyle p _ {1} ~:~$$\displaystyle \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} = \overrightarrow {v}$와 $\displaystyle \left | \overrightarrow {v} \right | \leq \left | \overrightarrow {a} \right | + \left | \overrightarrow {b} \right | \leq 2 \left | \overrightarrow {v} \right |$를 만족시키는 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {b}$가 존재한다.

$\displaystyle p _ {1} ~:~$$\displaystyle \overrightarrow {a} + \overrightarrow {b} = \overrightarrow {v}$와 $\displaystyle \left | \overrightarrow {a} \right | =m$, $\displaystyle \left | \overrightarrow {b} \right | =n$을 만족시키는 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {b}$가 존재한다. (단, $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 0<m<n$인 상수이다.)

 

[문제 3-1] 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {v} = \left ( c,~0 \right )$일 때, 명제 $\displaystyle p _ {1}$을 만족시키는 위치벡터 $\displaystyle \overrightarrow {a}$의 종점이 이루는 도형을 $\displaystyle c$를 이용하여 나타내시오. (단, $\displaystyle c$는 양의 실수이다.) [10점]

 

[문제 3-2] 명제 $\displaystyle p _ {2}$를 만족시키는 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {a}$의 집합을 $\displaystyle S$라고 할 때, 집합 $\displaystyle S$의 원소의 개수가 $\displaystyle 2$가 되는 벡터 $\displaystyle \overrightarrow {v}$의 조건을 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$을 사용하여 나타내시오. [10점]

 

 

 

 

 

[제시문]

그림과 같이 좌표공간에서 $\displaystyle \mathrm { A} \left ( 1,~0,~0 \right )$, $\displaystyle \mathrm { B} \left ( 0,~1,~-2 \right )$, $\displaystyle \mathrm { C }\left ( 1,~2,~0 \right )$, $\displaystyle \mathrm { D} \left ( -1,~0,~1 \right )$, $\displaystyle \mathrm { E} \left ( -2,~1,~-1 \right )$, $\displaystyle \mathrm { F} ( -1,~2,~1)$를 꼭짓점으로 하는 삼각기둥 $\displaystyle \mathrm { ABC-DEF}$를 $\displaystyle z$축의 방향으로 $\displaystyle 6$만큼 평행이동하는 동안 삼각기둥 $\displaystyle \mathrm { ABC-DEF}$가 그리는 다면체를 $\displaystyle V$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

 

[문제 4-1] 다면체 $\displaystyle V$와 평면 $\displaystyle z=3$이 만나서 생기는 단면의 모양과 넓이를 구하시오. [10점]

[문제 4-2] 다면체 $\displaystyle V$의 부피를 구하시오. [10점]