한양대학교 2021학년도 논술전형 자 연 계 열 (오전)

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1. 곡선 $\displaystyle y=e^x ~(0 \leq x \leq \ln t )$와 $\displaystyle y$축, 직선 $\displaystyle y=t$로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 두 입체도형 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$가 있다. 도형 $\displaystyle A$는 $\displaystyle y$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이고, 도형 $\displaystyle B$ 는 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형이다. 도형 $\displaystyle A$의 부피를 $\displaystyle V(t)$, 도형 $\displaystyle B$ 의 부피를 $\displaystyle W(t)$라 할 때, 극한값 $\displaystyle \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln t}{t} \frac{W(t)}{V(t)}$를 구하시오.

 

 

2. 양의 실수 $\displaystyle t$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=(x+1)^{\frac{3}{2}}~(-1 \leq x \leq t )$의 길이를 $\displaystyle l(t)$라 하고, 이 곡선 위의 점 $\displaystyle \left( t,~(t+1)^{\frac{3}{2}}\right)$과 원점 사이의 거리를 $\displaystyle d(t)$라 하자. 이때 극한값 $\displaystyle \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{l(t)}{d(t)}$를 구하시오.

 

 

3. 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 한 변의 길이가 $\displaystyle n^2 -12n+37$인 정사각형의 넓이를 $\displaystyle a_n$, 한 변의 길이가 $\displaystyle 2n+1$인 정사각형의 넓이를 $\displaystyle b_n$이라고 하자. $\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$이 최소가 되는 $\displaystyle n$을 구하고, 이때 $\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$의 값을 구하시오.

 

 

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

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$\displaystyle 1$이하의 모든 양의 실수 $\displaystyle a,~b,~c$와 $\displaystyle abcd=1$을 만족시키는 실수 $\displaystyle d$에 대하여 부등식

$\displaystyle a+b+c+d + \frac{1}{abc+abd+acd+bcd} \geq M$

을 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle M$의 최댓값을 다음과 같이 구하고자 한다.

위 부등식을 아래와 같이 쓰자.

$\displaystyle a+b+c+ \frac{1}{abc} + \frac{1}{abc+\frac{1}{a}+ \frac{1} {b}+\frac{1}{c}} \geq M$

$\displaystyle f(x)= a+b+x+ \frac{1}{abx} + \frac{1}{abx+\frac{1}{a}+ \frac{1} {b}+\frac{1}{x}}$ (단,  $\displaystyle 0< x \leq 1$)이라 하면,

$\displaystyle f'(x)= \frac{\boxed{~(ㄱ)~}}{x^2} \left\{ \frac{1}{\left(abx + \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{x} \right)^2} - \frac{1}{ab}\right\} \leq 0$ 

이므로 $\displaystyle f(c) \geq f(1)$이 성립한다.

이번에는 $\displaystyle f(1) \geq g(b)$가 되도록 $\displaystyle g(x)= a+x+1+ \frac{1}{ax} + \frac{1}{ax+\frac{1}{a}+ \frac{1} {x}+1}$ (단,  $\displaystyle 0< x \leq 1$)이라 하면, $\displaystyle g'(x) \leq 0$이므로 $\displaystyle g(b) \geq g(1)$이 성립한다.

마지막으로 $\displaystyle g(1)=h \left(a+ \frac{1}{a}+2\right)$가 되는 $\displaystyle h(x)$를 생각하면 $\displaystyle \cdots$(이하 생략)

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1. 제시문의 (ㄱ)에 알맞은 수식을 쓰고 $\displaystyle f'(x) \leq 0$인 이유를 설명하시오.

2. 제시문에서 생략된 마지막 과정을 완성하여 $\displaystyle M$ 의 최댓값을 구하시오.

3. 다음 부등식을 만족시키는 양의 실수 $\displaystyle K$의 최댓값을 제시문과 동일한 방법으로 구하시오. (단, 실수 $\displaystyle a, ~b,~c,~d$는 제시문과 동일한 조건을 만족한다.)

$\displaystyle 2(a+b+c+d) + \frac{17}{abc+abd+acd+bcd} \geq K$