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한양대학교 2021학년도 논술전형 자 연 계 열 (오전)수리논술과 심층면접 2021. 7. 31. 17:51
[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)
1. 곡선 y=ex (0≤x≤lnt)와 y축, 직선 y=t로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 두 입체도형 A 와 B가 있다. 도형 A는 y축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이고, 도형 B 는 x축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형이다. 도형 A의 부피를 V(t), 도형 B 의 부피를 W(t)라 할 때, 극한값 limt→∞lnttW(t)V(t)를 구하시오.
2. 양의 실수 t에 대하여 곡선 y=(x+1)32 (−1≤x≤t)의 길이를 l(t)라 하고, 이 곡선 위의 점 (t, (t+1)32)과 원점 사이의 거리를 d(t)라 하자. 이때 극한값 limt→∞l(t)d(t)를 구하시오.
3. 자연수 n에 대하여 한 변의 길이가 n2−12n+37인 정사각형의 넓이를 an, 한 변의 길이가 2n+1인 정사각형의 넓이를 bn이라고 하자. anbn이 최소가 되는 n을 구하고, 이때 anbn의 값을 구하시오.
[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
1이하의 모든 양의 실수 a, b, c와 abcd=1을 만족시키는 실수 d에 대하여 부등식
a+b+c+d+1abc+abd+acd+bcd≥M
을 만족시키는 양의 실수 M의 최댓값을 다음과 같이 구하고자 한다.
위 부등식을 아래와 같이 쓰자.
a+b+c+1abc+1abc+1a+1b+1c≥M
f(x)=a+b+x+1abx+1abx+1a+1b+1x (단, 0<x≤1)이라 하면,
f′(x)= (ㄱ) x2{1(abx+1a+1b+1x)2−1ab}≤0
이므로 f(c)≥f(1)이 성립한다.
이번에는 f(1)≥g(b)가 되도록 g(x)=a+x+1+1ax+1ax+1a+1x+1 (단, 0<x≤1)이라 하면, g′(x)≤0이므로 g(b)≥g(1)이 성립한다.
마지막으로 g(1)=h(a+1a+2)가 되는 h(x)를 생각하면 ⋯(이하 생략)
1. 제시문의 (ㄱ)에 알맞은 수식을 쓰고 f′(x)≤0인 이유를 설명하시오.
2. 제시문에서 생략된 마지막 과정을 완성하여 M 의 최댓값을 구하시오.
3. 다음 부등식을 만족시키는 양의 실수 K의 최댓값을 제시문과 동일한 방법으로 구하시오. (단, 실수 a, b, c, d는 제시문과 동일한 조건을 만족한다.)
2(a+b+c+d)+17abc+abd+acd+bcd≥K
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