한양대학교 2021학년도 논술전형 자 연 계 열 (오전)

[문제 1] 다음 물음에 답하시오. (50점)

1. 곡선 \(\displaystyle y=e^x ~(0 \leq x \leq \ln t )\)와 \(\displaystyle y\)축, 직선 \(\displaystyle y=t\)로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 두 입체도형 \(\displaystyle A\) 와 \(\displaystyle B\)가 있다. 도형 \(\displaystyle A\)는 \(\displaystyle y\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이고, 도형 \(\displaystyle B\) 는 \(\displaystyle x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형이다. 도형 \(\displaystyle A \)의 부피를 \(\displaystyle V(t) \), 도형 \(\displaystyle B \) 의 부피를 \(\displaystyle W(t)\)라 할 때, 극한값 \(\displaystyle \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{\ln t}{t} \frac{W(t)}{V(t)}\)를 구하시오.

 

 

2. 양의 실수 \(\displaystyle t \)에 대하여 곡선 \(\displaystyle y=(x+1)^{\frac{3}{2}}~(-1 \leq x \leq t )\)의 길이를 \(\displaystyle l(t)\)라 하고, 이 곡선 위의 점 \(\displaystyle \left( t,~(t+1)^{\frac{3}{2}}\right) \)과 원점 사이의 거리를 \(\displaystyle d(t)\)라 하자. 이때 극한값 \(\displaystyle \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{l(t)}{d(t)} \)를 구하시오.

 

 

3. 자연수 \(\displaystyle n\)에 대하여 한 변의 길이가 \(\displaystyle n^2 -12n+37\)인 정사각형의 넓이를 \(\displaystyle a_n \), 한 변의 길이가 \(\displaystyle 2n+1\)인 정사각형의 넓이를 \(\displaystyle b_n\)이라고 하자. \(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\)이 최소가 되는 \(\displaystyle n\)을 구하고, 이때 \(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\)의 값을 구하시오.

 

 

[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)

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\(\displaystyle 1\)이하의 모든 양의 실수 \(\displaystyle a,~b,~c\)와 \(\displaystyle abcd=1\)을 만족시키는 실수 \(\displaystyle d\)에 대하여 부등식

\(\displaystyle a+b+c+d + \frac{1}{abc+abd+acd+bcd} \geq M\)

을 만족시키는 양의 실수 \(\displaystyle M\)의 최댓값을 다음과 같이 구하고자 한다.

위 부등식을 아래와 같이 쓰자.

\(\displaystyle a+b+c+ \frac{1}{abc} + \frac{1}{abc+\frac{1}{a}+ \frac{1} {b}+\frac{1}{c}} \geq M\)

\(\displaystyle f(x)= a+b+x+ \frac{1}{abx} + \frac{1}{abx+\frac{1}{a}+ \frac{1} {b}+\frac{1}{x}} \) (단,  \(\displaystyle 0< x \leq 1\))이라 하면,

\(\displaystyle f'(x)= \frac{\boxed{~(ㄱ)~}}{x^2} \left\{ \frac{1}{\left(abx + \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{x} \right)^2} - \frac{1}{ab}\right\} \leq 0\) 

이므로 \(\displaystyle f(c) \geq f(1)\)이 성립한다.

이번에는 \(\displaystyle f(1) \geq g(b)\)가 되도록 \(\displaystyle g(x)= a+x+1+ \frac{1}{ax} + \frac{1}{ax+\frac{1}{a}+ \frac{1} {x}+1} \) (단,  \(\displaystyle 0< x \leq 1\))이라 하면, \(\displaystyle g'(x) \leq 0\)이므로 \(\displaystyle g(b) \geq g(1)\)이 성립한다.

마지막으로 \(\displaystyle g(1)=h \left(a+ \frac{1}{a}+2\right)\)가 되는 \(\displaystyle h(x)\)를 생각하면 \(\displaystyle \cdots \)(이하 생략)

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1. 제시문의 (ㄱ)에 알맞은 수식을 쓰고 \(\displaystyle f'(x) \leq 0\)인 이유를 설명하시오.

2. 제시문에서 생략된 마지막 과정을 완성하여 \(\displaystyle M\) 의 최댓값을 구하시오.

3. 다음 부등식을 만족시키는 양의 실수 \(\displaystyle K\)의 최댓값을 제시문과 동일한 방법으로 구하시오. (단, 실수 \(\displaystyle a, ~b,~c,~d\)는 제시문과 동일한 조건을 만족한다.)

\(\displaystyle 2(a+b+c+d) + \frac{17}{abc+abd+acd+bcd} \geq K\)