[수학의 기초] 삼각부등식 [더플러스수학]

과학고 AP-Calculus 수업을 할  때, 특히 극한을 \(\displaystyle \epsilon-\delta\) 논법을 이용하여 증명할 때, 많이 나온다. 물론 이 내용은 수학 하에서 부등식의 증명단원에서 절댓값을 포함한 부등식을 증명할 때, 예로 나온다.
먼저 중학교 1학년에서 배운 절댓값의 정의에서 시작하자.

절댓값

실수 \(\displaystyle x \)에 대하여 절댓값 \(\displaystyle x \) 즉, \(\displaystyle  \left| x \right|\)는 원점으로부터 실수 \(\displaystyle x \)까지의 거리를 나타낸다.
 
예를 들어 \(\displaystyle  \left| -5 \right|\)는 수직선에서 원점 \(\displaystyle  0 \)로부터 점 \(\displaystyle  -5\)까지의 거리이므로 \(\displaystyle  \left| -5 \right|=5\)이다.
 

위의 그림과 절댓값의 정의를 잘 생각하면 다음이 서로 동치인 것은 쉽게 확인할 수 있다.
\(\displaystyle 0\) 이상의 실수 \(\displaystyle  a\)에 대하여 

\(\displaystyle  \left| x \right| <a \)  \(\displaystyle \Longleftrightarrow \)  \(\displaystyle -a \leq x \leq a \)       \(\displaystyle \cdots\cdots (\mathrm{i})\)

 
삼각부등식는 삼각형이 결정되기 위한 세 변 사이의 관계식에서 나왔다. 즉, 삼각형에서 한 변의 길이는 나머지 다른 두 변의 길이의 합보다는 작고 나머지 두변의 차보다는 크다.
 

삼각부등식(triangle inequality)

임의의 실수 \(\displaystyle a,~b \)에 대하여

\(\displaystyle   \left|a \right| -\left|b \right|   \leq \left|a +b \right|  \leq \left|a \right| +\left|b \right| \)

등호는 왼쪽 부등식에서는 \(\displaystyle ab \leq 0\)일 때, 오른쪽 부등식에서는 \(\displaystyle ab \geq 0\)일 때 성립한다.
증명)
먼저 오른쪽 부등식을 먼저 실수의 성질을 이용하여 증명하자.
\(\displaystyle a\)가 실수이므로 절댓값의 성질에 의해

\(\displaystyle -\left| a \right| \leq a \leq \left|a\right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {ii})\)

마찬가지로 \(\displaystyle b\)도 실수이므로

\(\displaystyle -\left| b \right| \leq b \leq \left|b\right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {iii})\)

위의 \(\displaystyle (\mathrm{i}),~(\mathrm{ii})\)를 더하면

\(\displaystyle -\left| a \right| -\left| b \right| \leq a +b \leq \left|a\right|+\left| b \right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {iv})\)

이 식은 \(\displaystyle (\mathrm {i})\)에 의해

\(\displaystyle  \left| a +b \right| \leq \left|a\right|+\left| b \right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {v})\)

로 표현할 수 있다. 등호는 \(\displaystyle a,~b\)가 같은 부호일 때, 즉 \(\displaystyle ab \geq 0\)일 때 성립한다.
위의 부등식의 좌변을 증명했으므로 우변은 부등식의 좌변을 이용하여 증명하자. 즉, \(\displaystyle  (\mathrm {v})\)는 임의의 실수 \(\displaystyle a,~b\)에 대하여 성립하므로 \(\displaystyle a=a'-b',~b=b'\)라 할 때도 \(\displaystyle  (\mathrm {v})\)이 성립한다.
따라서 이것을 \(\displaystyle  (\mathrm {v})\)에 대입하면

\(\displaystyle  \left| (a'-b') +b' \right| \leq \left|a'-b'\right|+\left| b' \right|\)

여기서 \(\displaystyle \left|b'\right|\)를 우변으로 넘기면

\(\displaystyle  \left| a' \right|-\left|b'\right|  \leq \left|a'-b'\right| \)

즉, \(\displaystyle  \left| a \right|-\left|b\right|  \leq \left|a-b\right| \)
 
다음의 실수의 성질을 이용하여 수학 하 과정으로 증명할 수 있다. 
즉, \(\displaystyle  a,~b \geq0\)일 때,

\(\displaystyle a>b ~~\Longleftrightarrow ~~ a^2 >b^2 \)

간단히 부등식의 오른쪽을 증명하자.
\(\displaystyle  \left| a +b \right| \geq 0,~\leq \left|a\right|+\left| b \right| \geq 0\)이므로

\(\displaystyle  \begin{align} \left( \left| a +b \right| \right)^2 - \left( \left|a\right|+\left| b \right| \right)^2 &= \left( a^2 +2ab +b^2 \right) - \left(a^2 +2 \left|a \right| \left|b \right| +b^2 \right)\\&= 2 \left( ab - \left|ab \right| \right) \geq 0 \end{align}\)

\(\displaystyle \therefore~ \left| a +b \right| \geq  \left|a\right|+\left| b \right| \)
 
벡터로 증명할 수도 있는데 이것은 다음 글을 참조하자.

2021.10.05 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식-벡터에 의한 증명

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