[수학의 기초] 삼각부등식 [더플러스수학]

과학고 AP-Calculus 수업을 할  때, 특히 극한을 $\displaystyle \epsilon-\delta$ 논법을 이용하여 증명할 때, 많이 나온다. 물론 이 내용은 수학 하에서 부등식의 증명단원에서 절댓값을 포함한 부등식을 증명할 때, 예로 나온다.
먼저 중학교 1학년에서 배운 절댓값의 정의에서 시작하자.

절댓값

실수 $\displaystyle x$에 대하여 절댓값 $\displaystyle x$ 즉, $\displaystyle  \left| x \right|$는 원점으로부터 실수 $\displaystyle x$까지의 거리를 나타낸다.
 
예를 들어 $\displaystyle  \left| -5 \right|$는 수직선에서 원점 $\displaystyle  0$로부터 점 $\displaystyle  -5$까지의 거리이므로 $\displaystyle  \left| -5 \right|=5$이다.
 

위의 그림과 절댓값의 정의를 잘 생각하면 다음이 서로 동치인 것은 쉽게 확인할 수 있다.
$\displaystyle 0$ 이상의 실수 $\displaystyle  a$에 대하여 

$\displaystyle  \left| x \right| <a$  $\displaystyle \Longleftrightarrow$  $\displaystyle -a \leq x \leq a$       $\displaystyle \cdots\cdots (\mathrm{i})$

 
삼각부등식는 삼각형이 결정되기 위한 세 변 사이의 관계식에서 나왔다. 즉, 삼각형에서 한 변의 길이는 나머지 다른 두 변의 길이의 합보다는 작고 나머지 두변의 차보다는 크다.
 

삼각부등식(triangle inequality)

임의의 실수 $\displaystyle a,~b$에 대하여

$\displaystyle   \left|a \right| -\left|b \right|   \leq \left|a +b \right|  \leq \left|a \right| +\left|b \right|$

등호는 왼쪽 부등식에서는 $\displaystyle ab \leq 0$일 때, 오른쪽 부등식에서는 $\displaystyle ab \geq 0$일 때 성립한다.
증명)
먼저 오른쪽 부등식을 먼저 실수의 성질을 이용하여 증명하자.
$\displaystyle a$가 실수이므로 절댓값의 성질에 의해

$\displaystyle -\left| a \right| \leq a \leq \left|a\right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {ii})$

마찬가지로 $\displaystyle b$도 실수이므로

$\displaystyle -\left| b \right| \leq b \leq \left|b\right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {iii})$

위의 $\displaystyle (\mathrm{i}),~(\mathrm{ii})$를 더하면

$\displaystyle -\left| a \right| -\left| b \right| \leq a +b \leq \left|a\right|+\left| b \right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {iv})$

이 식은 $\displaystyle (\mathrm {i})$에 의해

$\displaystyle  \left| a +b \right| \leq \left|a\right|+\left| b \right|~~~~~\cdots\cdots~(\mathrm {v})$

로 표현할 수 있다. 등호는 $\displaystyle a,~b$가 같은 부호일 때, 즉 $\displaystyle ab \geq 0$일 때 성립한다.
위의 부등식의 좌변을 증명했으므로 우변은 부등식의 좌변을 이용하여 증명하자. 즉, $\displaystyle  (\mathrm {v})$는 임의의 실수 $\displaystyle a,~b$에 대하여 성립하므로 $\displaystyle a=a'-b',~b=b'$라 할 때도 $\displaystyle  (\mathrm {v})$이 성립한다.
따라서 이것을 $\displaystyle  (\mathrm {v})$에 대입하면

$\displaystyle  \left| (a'-b') +b' \right| \leq \left|a'-b'\right|+\left| b' \right|$

여기서 $\displaystyle \left|b'\right|$를 우변으로 넘기면

$\displaystyle  \left| a' \right|-\left|b'\right|  \leq \left|a'-b'\right|$

즉, $\displaystyle  \left| a \right|-\left|b\right|  \leq \left|a-b\right|$
 
다음의 실수의 성질을 이용하여 수학 하 과정으로 증명할 수 있다. 
즉, $\displaystyle  a,~b \geq0$일 때,

$\displaystyle a>b ~~\Longleftrightarrow ~~ a^2 >b^2$

간단히 부등식의 오른쪽을 증명하자.
$\displaystyle  \left| a +b \right| \geq 0,~\leq \left|a\right|+\left| b \right| \geq 0$이므로

$\displaystyle  \begin{align} \left( \left| a +b \right| \right)^2 - \left( \left|a\right|+\left| b \right| \right)^2 &= \left( a^2 +2ab +b^2 \right) - \left(a^2 +2 \left|a \right| \left|b \right| +b^2 \right)\\&= 2 \left( ab - \left|ab \right| \right) \geq 0 \end{align}$

$\displaystyle \therefore~ \left| a +b \right| \geq  \left|a\right|+\left| b \right|$
 
벡터로 증명할 수도 있는데 이것은 다음 글을 참조하자.

2021.10.05 - [수학과 공부이야기] - [더플러스수학] 코시-슈바르츠 부등식, 삼각부등식-벡터에 의한 증명

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