[더플러스수학] 증가함수(또는 감소함수)의 역함수도 증가함수(또는 감소함수)이다.

정의 증가함수

함수 \(\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)\)가 다음 조건을 만족할  때를 (순)증가함수-strictly increasing function라고 한다.
임의의 \(\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)\)에 대하여

\(\displaystyle  x_1 < x_2 \)  \(\displaystyle \longrightarrow \) \(\displaystyle  f(x_1 ) < f(x_2 )\)  \(\displaystyle \cdots\cdots \) (i)

또, 다음을 만족하면 단조증가함수(monotonic increasing function) 또는 감소하지 않는 함수(non-decreasing function)이라 한다.

\(\displaystyle  x_1 < x_2 \)  \(\displaystyle \longrightarrow \) \(\displaystyle  f(x_1 ) \textcolor{red}{\leq} f(x_2 )\)

---

 
증가함수를 부정하면 즉, 증가함수가 아님을 보기 위해서는 위의 (i)을 부정하면 된다.
"모든, 어떤"을 포함하고, "~이면~"을 포함한 명제의 부정은 다음의 글을 먼저 참조하시길...
2022.01.23 - [수학과 공부이야기] - [수학의 기초] 함수의 극한의 엄밀한 정의(1) $\epsilon-\delta$, $\displaystyle p \rightarrow q$와 $\displaystyle \sim p ~or~ q$와 그 부정

 

(i)을 부정하자.
어떤 \(\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)\)이 존재하여 다음을 만족하지 않는다.

\(\displaystyle  x_1 < x_2 \)  \(\displaystyle \longrightarrow \) \(\displaystyle  f(x_1 ) < f(x_2 )\)  

여기서 "만족하지 않는다"는 표현과 "~이면~"의 표현이 있다. "만족한다"로 쓰면, 즉 이것을 부정하면

 

어떤 \(\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)\)이 존재하여 다음을 만족한다.

\(\displaystyle  x_1 < x_2 \)이지만 \(\displaystyle  f(x_1 ) \geq f(x_2 )\)  

정리하면
 

\(\displaystyle  x_1 < x_2 \)이지만 \(\displaystyle  f(x_1 ) \geq f(x_2 )\)  을 만족하는 어떤 두 수 \(\displaystyle x_1 ,~x_2 \in (a,~b)\)가 존재한다.

 
 
이제 다음 명제를 증명하자.

일대일 함수 \(\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)\)를 생각하자.
함수 \(\displaystyle f\,:\,(a,~b) \longrightarrow (c,~d)\)가 증가함수이면 그 역함수인 \(\displaystyle f^{-1}\,:\,(c,~d) \longrightarrow (a,~b)\)도 증가함수이다.

 
(증명) 귀류법으로 증명하자. 먼저 결론을 부정하면 \(\displaystyle f^{-1}\,:\,(c,~d) \longrightarrow (a,~b)\)가 증가함수가 아니라고 가정하자.
그러면 어떤 두 수 \(\displaystyle y_1 ,~y_2 \in (c,~d)\)가 존재하여

\(\displaystyle y_1 < y_2 \in (c,~d)\)  \(\displaystyle \cdots\cdots(\mathrm{i})\)이고 \(\displaystyle f^{-1}(y_1) \geq f^{-1}(y_2)\)

이다. 한편 함수 \(\displaystyle f\)가 증가함이고 \(\displaystyle f^{-1}(y_1) \geq f^{-1}(y_2)\)에서

\(\displaystyle f (f^{-1}(y_1) )\geq f( f^{-1}(y_2))\)  \(\displaystyle \cdots\cdots(\mathrm{ii})\)

그런데 \(\displaystyle f \circ f^{-1}=I \) (여기서 \(\displaystyle I\)는 항등함수)이므로
\(\displaystyle (\mathrm{i})\)는

\(\displaystyle y_1 \geq y_2 \)

이다. 그런데 이것은 \(\displaystyle y_1 < y_2 \in (c,~d)\)라는 \(\displaystyle \cdots\cdots(\mathrm{i})\)의 조건과 서로 모순이다.
따라서 \(\displaystyle f^{-1}\,:\,(c,~d) \longrightarrow (a,~b)\)는 증가함수이다.
 

과고1학년, 2학년 대신대비를 위해 더플러스수학학원의 구술시스템에서 실제로 하고 있는 문제를 보시려거나 과학고 3학년 AP미적분학을 준비하고자 하거나 대학교1학년 미적분학에 대해 공부하려고 하면 더플러스수학 프리미엄콘텐츠 를 이용해 보세요.

https://naver.me/FsR64KUy

과학고전문더플러스수학 : 네이버 프리미엄콘텐츠